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微積分 · 均值定理

均值定理

若函數 f 在 [a, b] 上連續，且在 (a, b) 上可微分，則 a 與 b 之間至少有一點 c，其切線平行於通過兩端點的割線：f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)。

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這個視覺化中的均值定理

均值定理，也稱拉格朗日均值定理，指出：若函數 ff 在閉區間 [a,b][a, b] 上連續，且在開區間 (a,b)(a, b) 上可微分，則至少存在一點 cc，滿足 a<c<ba < c < b，使得

均值定理
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

左側是 cc 處的切線斜率；右側是通過 (a,f(a))(a, f(a)) 與 (b,f(b))(b, f(b)) 的割線斜率，也就是 ff 在區間上的平均變化率。該點也可記為 ξ\xi。羅爾定理是 f(a)=f(b)f(a) = f(b) 的特例，此時割線水平，且 f′(c)=0f'(c) = 0。本頁以四個光滑函數展示定理，也提供兩個可能不滿足前提的函數：∣x∣|x| 在角點不可微分；若區間內有跳躍，跳躍函數在該處既不連續，也不可微分。

藍點 A 與 B 位於曲線上、aa 與 bb 的正上方：可拖曳它們，或拖曳 x 軸上的藍色線段來平移整個區間。穿過兩點的黃線是割線，斜率記為 mm。每個藍點標出一個 cc：其切線平行於割線，並以鉛直虛線連到割線；ff 光滑的地方，曲線相對割線的高度在每個 cc 處導數為零（兩者在該處斜率相同）。圖下方的斜率帶以藍色畫出 f′(x)f'(x)，以黃色水平線畫出割線斜率 mm：每個 cc 都是交點。隱藏答案後，會出現可沿曲線移動的切點，讓你自行尋找 cc。

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別從定理推論過頭

  • 定理保證至少有一個 cc，不是恰好一個：x3−3xx^3 - 3x 在 [−2,2][-2, 2] 上有兩個，sin⁡x\sin x 在 [−6,6][-6, 6] 上有四個。它也沒說 cc 在哪裡：非退化二次函數唯一的 cc 永遠是中點，但對其他函數，該點可能位於區間內部任何位置。
  • 只要求區間內部可微分。x\sqrt{x} 在 [0,4][0, 4] 上，雖然 0 處有鉛直切線，c=1c = 1 仍符合。
  • 某項前提不成立時，定理就不提供結論。∣x∣|x| 在 [−1,2][-1, 2] 上沒有 cc，跳躍函數在 [0.5,1.5][0.5, 1.5] 上也沒有；但同一個跳躍函數在 [0,2][0, 2] 上卻碰巧有 c=1.5c = 1.5。
  • 本頁對每個函數，從 f′(c)=f'(c) = 割線斜率精確解出各點 cc，不是用數值搜尋找到的。
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應用在哪裡

  • 平均速率：汽車在 5 分鐘內行駛 10 km，平均為 120 km/h。若行經距離連續變化，且在這 5 分鐘內每個時刻都有導數，也就是速率，那麼某一瞬間的速率必定恰好為 120 km/h。因此，在區間測速路段平均速率超標的駕駛，必定曾在某一時刻超速。
  • 若區間上處處滿足 f′=0f' = 0，則 ff 在該區間為常數；兩個具有相同導函數的函數相差一個常數，這就是反導函數帶有 + C+\,C 的原因。
  • 估計：若區間上有 ∣f′∣≤M|f'| \le M，則 ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|。均值定理也是微積分基本定理證明中的一個步驟。
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相關概念

延伸閱讀: 維基百科: Mean value theorem (英文); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (英文).