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代數與函數 · 平均變化率

平均變化率

f 在 [a, b] 上的平均變化率是 (f(b) − f(a)) / (b − a)，也就是通過兩端點的割線斜率。將 [a, b] 分段，它等於各段變化率按寬度加權後的平均。

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本頁中的平均變化率

函數 ff 在區間 [a,b][a, b] 上的平均變化率，是函數值的變化量除以輸入值的變化量：差商 ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}。在圖形上，它是通過 (a,f(a))(a, f(a)) 與 (b,f(b))(b, f(b)) 的割線斜率。若是行駛距離隨時間的變化，它就是平均速率。本頁對五個函數，將 [a,b][a, b] 分成最多八段，比較整體與各段。

[a, b] 上的平均變化率
ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a=∑iΔxi mi∑iΔxi\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

分割點 a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b 產生寬度為 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1} 的各段，每段都有自己的變化率 mi=Δyi/Δxim_i = \Delta y_i / \Delta x_i，也就是細黃色弦的斜率。圖形下方，每段對應一根長條：寬 Δxi\Delta x_i、高 mim_i，因此帶正負號的面積是 Δxi mi=Δyi\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i，寫在長條內。面積加總為 Δy\Delta y，因為 ∑i(f(xi)−f(xi−1))\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1})) 中兩端之間的每個值都各以正負號出現一次，互相抵消。將總面積均勻攤在 [a,b][a, b] 上，便得到高度 Δy/Δx\Delta y / \Delta x 的黃色實線：整段變化率就是各段變化率按寬度加權的平均。虛線則是忽略寬度的一般平均 1n∑imi\frac{1}{n} \sum_i m_i。

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值得觀察的地方

  • 寬的長條權重更大。去程 60 km 以 60 km/h 行駛，回程 60 km 以 40 km/h 行駛，共需 2.5 h：平均速率是 120 ÷ 2.5 = 48 km/h，不是 50，因為較慢的一程花的時間更長。（平均速率以行駛距離除以時間；平均速度則以位移除以時間，往返的位移為 0。）各段等寬時，兩條線總是重合；其他情況也可能重合，例如各段變化率都相同的線性函數。
  • 各段寬度同為 hh 時，變化率會呈現規律：線性函數的各段都相等；ax2+bx+cax^2 + bx + c 的每段比前一段相差 2ah2ah；bxb^x 的每段是前一段的 bhb^h 倍。比較會寫出相鄰長條的差與比。
  • 平均變化率不是 ff 的平均值，而且只看兩端：−x2+4x-x^2 + 4x 在 [0,4][0, 4] 上升到 4 又回來，所以變化率為 0。整體變化率為正，仍可以有某段為負。
  • 從左到右升高的長條，表示弦呈現向上彎曲的趨勢，不代表曲線處處如此：x2+0.1sin⁡2πxx^2 + 0.1 \sin 2\pi x 在分割點 0、1、2、3、4 上給出長條 1、3、5、7，卻在 x=14x = \tfrac14 處向下彎曲，此時 f′′=2−0.4π2≈−1.95f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95。
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操作方式

  • 拖曳圖形上的端點 a、b 或分割點，也可拖曳長條邊緣；它們會吸附到 ½ 的倍數。把分割點拖到相鄰分割點上，兩者便合併。數字輪設定分段數並等分區間；等寬讓現有分段等寬；分割點接受精確值，例如 1, 2.5 或 4/3。
  • 簡報模式開啟適合投影機的全螢幕畫面（← → 改變分段數；H 隱藏平均變化率）。
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相關概念

延伸閱讀: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (英文); 維基百科: Difference quotient (英文).