Laju Perubahan Rata-Rata: Visualisasi Interaktif

01

Laju perubahan rata-rata dalam visualisasi ini

Laju perubahan rata-rata fungsi $f$ pada interval $[a, b]$ adalah perubahan nilainya dibagi perubahan masukannya: hasil bagi selisih $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Pada grafik, nilainya adalah kemiringan garis sekan yang melalui $(a, f(a))$ dan $(b, f(b))$ . Untuk jarak tempuh terhadap waktu, nilainya adalah kelajuan rata-rata. Halaman ini membagi $[a, b]$ menjadi paling banyak delapan bagian dan membandingkan keseluruhan dengan bagian-bagiannya, untuk lima fungsi.

Laju perubahan rata-rata pada [a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

Batas $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ membentuk bagian-bagian selebar $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ , masing-masing dengan laju $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ , yaitu kemiringan tali busur kuning tipis. Di bawah grafik, setiap bagian berupa batang: lebarnya $\Delta x_i$ , tingginya $m_i$ , sehingga luas bertandanya $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ , angka yang tertulis di dalamnya. Jumlah luasnya $\Delta y$ , karena dalam $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ setiap nilai di antara kedua ujung muncul sekali dengan masing-masing tanda dan saling meniadakan. Menyebarkan luas total itu secara merata pada $[a, b]$ menghasilkan garis kuning utuh pada tinggi $\Delta y / \Delta x$ : laju seluruh interval adalah laju tiap bagian yang dirata-ratakan menurut lebar. Garis putus-putus adalah rata-rata biasa $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ , yang mengabaikan lebarnya.

02

Hal yang perlu diperhatikan

Batang yang lebar memiliki bobot lebih besar. Pergi 60 km dengan 60 km/h dan pulang 60 km dengan 40 km/h memerlukan 2.5 h: kelajuan rata-ratanya 120 ÷ 2.5 = 48 km/h, bukan 50, karena perjalanan yang lebih lambat berlangsung lebih lama. (Kelajuan rata-rata membagi jarak tempuh; kecepatan rata-rata membagi perpindahan, yaitu 0 untuk perjalanan pulang-pergi.) Pada bagian yang sama lebar, kedua garis selalu berimpit; keduanya juga dapat berimpit dalam keadaan lain, seperti fungsi linear, yang semua bagiannya memiliki laju sama.
Pada bagian yang sama lebar $h$ , laju mengikuti pola: untuk fungsi linear, semuanya sama; untuk $ax^2 + bx + c$ , tiap laju berbeda dari sebelumnya sebesar $2ah$ ; untuk $b^x$ , tiap laju $b^h$ kali sebelumnya. Bandingkan menuliskan selisih dan rasio batang bertetangga.
Laju perubahan rata-rata bukan nilai rata-rata $f$ , dan hanya melihat kedua ujungnya: $-x^2 + 4x$ naik ke 4 pada $[0, 4]$ lalu kembali, jadi lajunya di sana 0. Laju keseluruhan yang positif tetap memungkinkan bagian dengan laju negatif.
Batang yang meningkat dari kiri ke kanan menunjukkan bahwa tali busurnya melengkung ke atas, bukan bahwa kurva demikian di seluruh tempat: $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ menghasilkan batang 1, 3, 5, 7 pada batas 0, 1, 2, 3, 4, tetapi melengkung ke bawah di $x = \tfrac14$ , dengan $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ .

03

Kontrol

Seret ujung a dan b atau batas bagian, pada grafik atau tepi batang; posisinya melekat pada kelipatan ½. Batas yang diseret ke tetangganya akan bergabung. Roda angka menentukan jumlah bagian dan membagi interval secara merata; Samakan meratakan bagian yang ada; Batas bagian menerima nilai eksak, seperti 1, 2.5 atau 4/3.
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (← → mengubah jumlah bagian; H menyembunyikan laju perubahan rata-rata).

04

Terkait

Bacaan lanjutan: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (Bahasa Inggris); Wikipedia: Difference quotient (Bahasa Inggris).