Tasso di variazione medio: visualizzazione interattiva

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Il tasso di variazione medio in questa visualizzazione

Il tasso di variazione medio di una funzione $f$ su un intervallo $[a, b]$ è la variazione del suo valore divisa per la variazione dell’argomento: il rapporto incrementale $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Sul grafico è la pendenza della secante passante per $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$ . Per una distanza percorsa nel tempo, è la velocità media. Questa pagina divide $[a, b]$ in al massimo otto parti e confronta il tutto con le sue parti, per cinque funzioni.

Tasso di variazione medio su [a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

I tagli $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ creano parti di ampiezze $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ , ciascuna con il proprio tasso $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ , la pendenza di una sottile corda gialla. Sotto il grafico ogni parte è una barra: la larghezza è $\Delta x_i$ , l’altezza è $m_i$ , quindi l’area con segno è $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ , il numero scritto al suo interno. Le aree sommate danno $\Delta y$ , perché in $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ ogni valore tra gli estremi compare una volta con ciascun segno e si cancella. Distribuendo quell’area totale uniformemente su $[a, b]$ si ottiene la linea gialla continua, all’altezza $\Delta y / \Delta x$ : il tasso sull’intero intervallo è la media ponderata per l’ampiezza dei tassi delle parti. La linea tratteggiata è la loro media semplice $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ , che ignora le ampiezze.

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Cosa osservare

Una barra larga pesa di più. Percorrere 60 km a 60 km/h e tornare per 60 km a 40 km/h richiede 2.5 h: la velocità media è 120 ÷ 2.5 = 48 km/h, non 50, perché il tratto più lento dura di più. (La velocità scalare media divide la distanza percorsa; la velocità vettoriale media divide lo spostamento, 0 per un viaggio di andata e ritorno.) Con parti di uguale ampiezza le due linee coincidono sempre; possono coincidere anche altrimenti, come per una funzione lineare, le cui parti hanno tutte lo stesso tasso.
Su parti di uguale ampiezza $h$ , i tassi seguono uno schema: per una funzione lineare sono uguali; per $ax^2 + bx + c$ ciascuno differisce dal precedente di $2ah$ ; per $b^x$ ciascuno è $b^h$ volte il precedente. Confronta mostra le differenze e i rapporti tra barre adiacenti.
Il tasso di variazione medio non è il valore medio di $f$ e considera solo gli estremi: $-x^2 + 4x$ sale a 4 su $[0, 4]$ e torna indietro, quindi il suo tasso su quell’intervallo è 0. Un tasso complessivo positivo ammette una parte con tasso negativo.
Barre crescenti da sinistra a destra indicano che le corde si incurvano verso l’alto, non che lo faccia la curva in ogni punto: $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ dà le barre 1, 3, 5, 7 sui tagli 0, 1, 2, 3, 4, ma si incurva verso il basso in $x = \tfrac14$ , dove $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ .

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Comandi

Trascina gli estremi a e b o un taglio, sul grafico o sui bordi delle barre; si agganciano ai multipli di ½. Un taglio trascinato sul vicino si fonde con esso. La rotella numerica imposta il numero di parti e divide uniformemente l’intervallo; Uguali rende uguali le parti attuali; Tagli in accetta valori esatti, come 1, 2.5 o 4/3.
Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (← → cambiano il numero di parti; H nasconde il tasso di variazione medio).

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Concetti collegati

Per approfondire: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (Inglese); Wikipedia: Difference quotient (Inglese).