Taxa média de variação: visualização interativa

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A taxa média de variação nesta visualização

A taxa média de variação de uma função $f$ num intervalo $[a, b]$ é a variação do seu valor dividida pela variação da variável independente: a razão incremental $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . No gráfico, é o declive da reta secante que passa por $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$ . Para uma distância percorrida ao longo do tempo, é a rapidez média. Esta página divide $[a, b]$ em até oito partes e compara o todo com as partes, para cinco funções.

Taxa média de variação em [a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

As divisões $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ criam partes de larguras $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ , cada uma com a sua taxa $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ , o declive de uma corda amarela fina. Por baixo do gráfico, cada parte é uma barra: tem largura $\Delta x_i$ e altura $m_i$ , pelo que a sua área com sinal é $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ , o número escrito no interior. As áreas somam $\Delta y$ , porque em $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ cada valor entre os extremos aparece uma vez com cada sinal e anula-se. Distribuir essa área total uniformemente por $[a, b]$ dá a linha amarela contínua, à altura $\Delta y / \Delta x$ : a taxa no intervalo inteiro é a média das taxas das partes ponderada pela largura. A linha tracejada é a média simples $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ , que ignora as larguras.

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O que observar

Uma barra larga tem mais peso. Percorrer 60 km a 60 km/h na ida e 60 km a 40 km/h no regresso demora 2.5 h: a rapidez média é 120 ÷ 2.5 = 48 km/h, não 50, porque o percurso mais lento demora mais tempo. (A rapidez média divide a distância percorrida pelo tempo; a velocidade média divide o deslocamento, que é 0 numa ida e volta.) Com partes de igual largura, as duas linhas coincidem sempre; também podem coincidir noutros casos, como numa função afim, cujas partes têm todas a mesma taxa.
Em partes de igual largura $h$ , as taxas seguem um padrão: numa função afim, são iguais; para $ax^2 + bx + c$ , cada uma difere da anterior em $2ah$ ; para $b^x$ , cada uma é $b^h$ vezes a anterior. Comparar apresenta as diferenças e as razões entre barras vizinhas.
A taxa média de variação não é o valor médio de $f$ e só depende dos extremos: $-x^2 + 4x$ sobe até 4 em $[0, 4]$ e regressa, pelo que a sua taxa nesse intervalo é 0. Uma taxa global positiva pode incluir uma parte com taxa negativa.
Barras que crescem da esquerda para a direita indicam que as cordas se curvam para cima, não que a curva o faça em todos os pontos: $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ dá barras 1, 3, 5, 7 com divisões em 0, 1, 2, 3, 4, mas tem concavidade voltada para baixo em $x = \tfrac14$ , onde $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ .

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Controlos

Arraste os extremos a e b ou uma divisão, no gráfico ou nas margens das barras; encaixam nos múltiplos de ½. Uma divisão arrastada para a vizinha funde-se com ela. O seletor de dígitos define o número de partes e divide o intervalo uniformemente; Iguais iguala as partes atuais; Divisões em aceita valores exatos, como 1, 2.5 ou 4/3.
O Modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (← → alteram o número de partes; H oculta a taxa média de variação).

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Relacionados

Para saber mais: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (Inglês); Wikipédia: Difference quotient (Inglês).