평균값 정리

이 시각화에서 살펴보는 평균값 정리

정리가 말하지 않는 것

• 정리는 $c$이 적어도 하나 있다고 말하며, 정확히 하나라고 하지는 않습니다. $[-2, 2]$에서의 $x^3 - 3x$에는 두 개, $[-6, 6]$에서의 $\sin x$에는 네 개가 있습니다. $c$의 위치도 알려 주지 않습니다. 최고차항 계수가 영이 아닌 이차함수에서는 유일한 $c$이 항상 중점이지만, 다른 함수에서는 구간 내부 어디에나 있을 수 있습니다.
• 미분 가능성은 구간 내부에서만 필요합니다. $[0, 4]$에서의 $\sqrt{x}$은 0에 수직 접선이 있지만 여전히 $c = 1$가 조건을 만족합니다.
• 가정이 성립하지 않으면 정리는 아무 결론도 주지 않습니다. $[-1, 2]$에서의 $|x|$에는 $c$가 없고, $[0.5, 1.5]$에서의 점프 함수도 마찬가지입니다. 하지만 같은 점프 함수라도 $[0, 2]$에서는 우연히 $c = 1.5$가 존재합니다.
• 이 페이지의 점 $c$은 각 함수에 대해 $f'(c) =$할선 기울기라는 방정식을 정확하게 풀어 구합니다. 수치 탐색으로 찾지 않습니다.

어디에 쓰일까요?

• 평균 속력: 자동차가 5분 동안 10 km를 가면 평균은 120 km/h입니다. 이동 거리가 연속적으로 변하고 그 5분의 내부 모든 순간에 도함수인 속력이 존재한다면, 어느 순간 속력은 정확히 120 km/h였습니다. 따라서 구간 단속에서 평균 속력이 제한을 넘었다면 어느 순간에는 제한 속력을 넘었습니다.
• 구간 전체에서 $f' = 0$이면 $f$은 그 구간에서 상수입니다. 도함수가 같은 두 함수의 차이는 상수이므로, 원시함수에 $+\,C$가 붙습니다.
• 추정에도 쓰입니다. 구간에서 $|f'| \le M$이면 $|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|$입니다. 이 정리는 미적분학의 기본정리를 증명하는 과정에서도 쓰입니다.

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