التفاعل والانتشار: محاكاة تفاعلية لنموذج غراي–سكوت

التفاعل والانتشار في هذا التصوّر

نظام التفاعل والانتشار مجموعة معادلات تفاضلية جزئية لتراكيز مواد تتفاعل فيما بينها وتنتشر في الفضاء: يتغيّر كل تركيز $c_i$ بحدّ تفاعل مضافًا إليه حدّ الانتشار $D_i \nabla^2 c_i$ . عندما تختلف معدلات الانتشار، قد ينظّم الخليط المتجانس نفسه في بقع وخطوط وموجات متحركة. تُستخدم هذه الأنظمة لنمذجة الموجات الكيميائية والكهربائية في القلب، وكآلية مقترحة لعلامات جلود الحيوانات. تشغّل الصفحة أحدها، نموذج غراي–سكوت.

نموذج غراي–سكوت

تتفاعل مادتان وفق A + 2B → 3B: يحوّل B المادة A إلى مزيد من B. يُغذّى A الجديد بمعدل $f$ ، ويُزال B بمعدل $f + k$ ؛ وينتشر A بضعف سرعة B.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

تحسب الصفحة هذه المعادلات على شبكة في بطاقة الرسوميات بطريقة كارل سيمز (لابلاسيان من تسع نقاط، وخطوة زمنية 1، وأويلر الصريح): إنه تقريب عددي، لا حلّ دقيق.

ما الذي تُظهره الصورة

يُظهر لون كل نقطة مزيجًا من التركيزين: الوعاء الفارغ (A فقط بلا B) عند طرف لوحة الألوان، وداخل النمط عند الطرف الآخر. الأنماط البصرية وإضاءة التضاريس للعرض فقط. ليس للوعاء جدران: يتصل اليسار باليمين والأعلى بالأسفل (طارة)، فيعود النمط الخارج من طرف عبر الطرف المقابل.

أمور يسهل فهمها خطأ

يتوقف ما ينمو على الوصفة $(f, k)$ وطريقة بذر الوعاء وتاريخه: تبدأ معظم العوالم بقطرات أو رقع أو جبهات موجية مقطوعة، ولا يبدأ من خليط شبه متجانس إلا عدم استقرار تورنغ.
عند المنحنى $k = \sqrt{f}/2 - f$ تتوقف الحالات المتجانسة الثابتة المحتوية على B عن الوجود. وهو لا يفصل شكل نمط عن آخر: فبعده قد تظل البقع والموجات قائمة بفعل فروق التركيز بين المواضع.
على خريطة المعلمات، لكل نقطة $f$ و $k$ خاصتان (وأفقيًا تُقاس $k$ نسبة إلى ذلك المنحنى)، فتنمو الوصفات المتجاورة جنبًا إلى جنب وتتسرّب إحداها إلى الأخرى. لذلك تُظهر الخريطة تقريبًا أين تعيش الأنماط، لا ما ستنتجه كل وصفة وحدها في وعاء.

التاريخ

بيّن تورنغ عام 1952 أن اختلاف الانتشار قد يجعل خليطًا متجانسًا مستقرًا غير مستقر، فتنمو الأنماط من تقلّبات صغيرة [1]. ودرس غراي وسكوت تفاعلات التحفيز الذاتي في خزان يُغذّى ويُحرّك باستمرار [2]؛ وبإضافة الانتشار تصبح معادلاتهما نموذج غراي–سكوت. حاكاه بيرسون في بعدين عام 1993 ورسم نحو اثني عشر نوعًا من الأنماط على مستوى $(f, k)$ [3].

مفاهيم ذات صلة

نمط تورنغ (صفحة قيد التخطيط) · تفاعل بيلوسوف–جابوتنسكي · التشكّل الحيوي · تكوّن الأنماط

المراجع

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Reaction–diffusion system (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Alan Mathison Turing (الإنجليزية).