反应扩散

反应扩散与本页画面

反应扩散系统是一组偏微分方程，描述几种物质的浓度：它们一边在空间中扩散，一边彼此反应，每种浓度$c_i$的变化率等于反应项加上扩散项$D_i \nabla^2 c_i$。几种物质扩散快慢不同时，均匀的混合物可以自己分出斑点、条纹和行波。这类方程被用来描述化学波和心脏里传播的电信号，也是解释动物皮毛花纹的一种候选机制。本页运行的是其中一种：Gray–Scott模型。

Gray–Scott模型

两种化学物质按A + 2B → 3B反应：B把A变成更多的B。A以补给率$f$不断补充，B以$f + k$的速率被移除；A的扩散系数是B的两倍。

本页在显卡上用Karl Sims的格式（九点拉普拉斯算子、时间步长1、显式欧拉法）在网格上逐步计算这组方程：这是数值近似，不是精确解。

画面上是什么

每一点的颜色由两种浓度共同决定：空培养皿（全是A、没有B）在色板的一端，图案内部在另一端。各种风格和浮雕光照只是显示效果。培养皿没有边：左边接着右边，上边接着下边（环面），图案从一边出去会从另一边回来。

容易误读的地方

• 长出什么，由配方$(f, k)$、怎样播种以及之前发生过什么共同决定：大多数世界从水滴、方块或断开的波前开始，只有“图灵失稳”从近乎均匀的混合物开始。
• 曲线$k = \sqrt{f}/2 - f$标出含B的均匀稳态在哪里不再存在。它并不划分图案的形状：在它外侧，斑点和波仍然可以靠各处浓度的差别维持。
• 参数地图上每一点都有自己的$f$和$k$（横向量的是$k$离这条曲线有多远），相邻的配方并排生长、互相渗透：地图只大致标出图案在哪里出现，不等于每个配方单独放进培养皿会长出的样子。

来历

1952年，图灵指出扩散快慢不同可以让一个稳定的均匀混合物失稳，图案从微小的涨落中长出来 [1]。Gray和Scott研究了连续进料的搅拌反应器里的自催化反应 [2]；他们的方程加上扩散，就是Gray–Scott模型。1993年，Pearson在平面上模拟它，在$(f, k)$平面上画出了十几类图案各自出现的位置 [3]。

相关概念

图灵斑图（页面筹备中）· BZ反应（Belousov–Zhabotinsky反应）· 形态发生 · 斑图形成

参考文献

1. A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
2. P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
3. J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

延伸阅读：维基百科：Reaction–diffusion system（英文）；MacTutor数学史：Alan Mathison Turing（英文）。