Reaktion–Diffusion: interaktive Gray–Scott-Simulation

Reaktion–Diffusion in dieser Visualisierung

Ein Reaktions-Diffusions-System ist ein System partieller Differentialgleichungen für die Konzentrationen von Stoffen, die miteinander reagieren und zugleich räumlich diffundieren. Jede Konzentration $c_i$ ändert sich durch einen Reaktionsterm plus den Diffusionsterm $D_i \nabla^2 c_i$ . Bei unterschiedlichen Diffusionsraten können aus einer gleichmäßigen Mischung Flecken, Streifen und laufende Wellen entstehen. Solche Systeme modellieren chemische Wellen, elektrische Wellen im Herzen und – als einen vorgeschlagenen Mechanismus – Fellzeichnungen. Diese Seite simuliert eines davon, das Gray–Scott-Modell.

Das Gray–Scott-Modell

Zwei Stoffe reagieren nach A + 2B → 3B: B wandelt A in weiteres B um. Frisches A wird mit Rate $f$ zugeführt, B mit Rate $f + k$ entfernt; A diffundiert doppelt so schnell wie B.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

Die Seite berechnet diese Gleichungen schrittweise auf einem Gitter auf deiner Grafikkarte nach Karl Sims (Neun-Punkt-Laplace-Operator, Zeitschritt 1, explizites Euler-Verfahren): eine numerische Näherung, keine exakte Lösung.

Was das Bild zeigt

Die Farbe jedes Punkts zeigt eine Mischung der beiden Konzentrationen: An einem Ende der Palette liegt die leere Schale (nur A, kein B), am anderen das Innere eines Musters. Darstellungsstile und Reliefbeleuchtung dienen nur der Anzeige. Die Schale hat keine Wände: Links schließt an rechts an, oben an unten (ein Torus). Ein Muster, das eine Seite verlässt, erscheint auf der anderen wieder.

Häufige Missverständnisse

Was wächst, hängt von der Mischung $(f, k)$ , der Anfangsverteilung und der Vorgeschichte ab. Die meisten Welten starten mit Tropfen, Flecken oder unterbrochenen Wellenfronten; nur die Turing-Instabilität beginnt mit einer fast gleichmäßigen Mischung.
An der Kurve $k = \sqrt{f}/2 - f$ hören gleichmäßige stationäre Zustände mit B auf zu existieren. Sie trennt nicht eine Musterform von einer anderen: Auch jenseits davon können räumliche Konzentrationsunterschiede Flecken und Wellen aufrechterhalten.
Auf der Parameterkarte hat jeder Punkt eigene Werte für $f$ und $k$ (horizontal wird $k$ relativ zu jener Kurve gemessen). Benachbarte Mischungen wachsen nebeneinander und diffundieren ineinander. Die Karte zeigt daher ungefähr, wo Muster vorkommen, nicht, was jede Mischung allein in einer Schale hervorbringen würde.

Geschichte

Turing zeigte 1952, dass unterschiedliche Diffusion eine stabile, gleichmäßige Mischung instabil machen kann, sodass aus kleinen Schwankungen Muster wachsen [1]. Gray und Scott untersuchten autokatalytische Reaktionen in einem kontinuierlich gespeisten Rührkessel [2]. Mit Diffusion ergänzt ergeben ihre Gleichungen das Gray–Scott-Modell. Pearson simulierte es 1993 in zwei Dimensionen und kartierte etwa ein Dutzend Mustertypen in der $(f, k)$ -Ebene [3].

Quellen

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Reaction–diffusion system (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Alan Mathison Turing (Englisch).