反応拡散：グレイ＝スコットモデルの対話型シミュレーション

この可視化での反応拡散

反応拡散系は、空間を拡散しながら反応し合う物質の濃度を表す偏微分方程式系です。各濃度 $c_i$ は、反応項と拡散項 $D_i \nabla^2 c_i$ によって変化します。物質の拡散速度が異なると、均一な混合物から斑点、縞、進行波が生まれることがあります。化学的な波、心臓の電気的な波、そして提案されている仕組みの一つとして動物の体表模様のモデルに使われます。このページでは、その一つであるグレイ＝スコットモデルを動かします。

グレイ＝スコットモデル

二つの物質はA + 2B → 3Bと反応し、BがAをさらにBへと変えます。新しいAが率 $f$ で供給され、Bは率 $f + k$ で除去されます。Aの拡散速度はBの2倍です。

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

このページではKarl Simsの方式（9点ラプラシアン、時間刻み1、陽的オイラー法）を使い、GPU上の格子で方程式を計算します。厳密解ではなく数値近似です。

画像が表すもの

各点の色は二つの濃度の組み合わせを表します。配色の一端は空の容器（AだけでBなし）、もう一端は模様の内部です。スタイルと起伏の照明は表示だけに影響します。容器に壁はなく、左右と上下がつながったトーラスです。一方から出た模様は反対側へ戻ってきます。

誤解しやすい点

育つ模様は設定 $(f, k)$ だけでなく、初期配置やそれまでの経過にも依存します。多くのパターンは滴、塊、途切れた波面から始まり、チューリング不安定性だけがほぼ均一な混合物から始まります。
曲線 $k = \sqrt{f}/2 - f$ では、Bを含む均一な定常状態が存在しなくなります。この曲線は模様の種類の境界ではありません。その先でも、場所ごとの濃度差によって斑点や波が維持されることがあります。
パラメータ地図では各点に異なる $f$ と $k$ があり、横方向はその曲線からの $k$ を測ります。隣り合う設定が同時に育って互いに流れ込むため、地図は模様が生じるおおよその場所を示すもので、各設定を単独の容器で動かした結果ではありません。

歴史

Turingは1952年、拡散速度の違いが安定で均一な混合物を不安定にし、小さな揺らぎから模様を生むことを示しました[1]。GrayとScottは、連続的に供給・撹拌されるタンクで自己触媒反応を研究しました[2]。その方程式に拡散を加えたものがグレイ＝スコットモデルです。Pearsonは1993年に2次元でシミュレーションし、 $(f, k)$ 平面に約12種類の模様を分類しました[3]。

参考文献

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

さらに読む: ウィキペディア: Reaction–diffusion system (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Alan Mathison Turing (英語).

この可視化での反応拡散

グレイ＝スコットモデル

画像が表すもの

誤解しやすい点

歴史

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参考文献