Wärmeleitungsgleichung

Oben steht die Temperatur $u$ entlang eines Stabs von 0 bis $\pi$: blass zu Beginn, gelb zur Zeit $t$. Blaue Pfeile zeigen, wie schnell jeder Punkt wärmer oder kälter wird. Darunter ist der Stab nach Temperatur eingefärbt. Die unterste Reihe zeigt die Größe jeder Sinusmode auf einer logarithmischen Skala, bei isolierten Enden stattdessen die Kosinusmoden.

Warum ändert sich ein Punkt dort am schnellsten, wo sich die Kurve am stärksten biegt? Für einen kleinen Abstand $h$ gilt $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$: also $2/h^2$ mal die Differenz zwischen dem Mittelwert der beiden Nachbarn und $u(x)$. Bei $u_{xx} > 0$ krümmt sich die Kurve nach oben; der Punkt liegt unter dem Mittel seiner nahen Nachbarn und wird wärmer. Bei $u_{xx} < 0$ kühlt er ab. Auf einem geraden Abschnitt gilt $u_t = 0$, wie heiß er auch ist. Die Sonde kann dies mit zwei nahen Nachbarn und ihrem Mittelwert zeigen. Sprünge und Ecken werden sofort glatt: Für jedes $t > 0$ ist die Temperaturkurve glatt.

Warum verschwinden feine Wellen zuerst? Eine einzelne Mode, $\sin kx$ bei auf 0 gehaltenen Enden oder $\cos kx$ bei isolierten Enden, erfüllt $u_{xx} = -k^2 u$. Sie behält daher ihre Form und schrumpft nur um den Faktor $e^{-k^2 t}$. Dreimal so viele Wellen bedeuten bei gleicher Höhe eine neunmal so große zweite Ableitung und einen neunmal so schnellen Abfall. Jede Anfangstemperatur ist eine Summe solcher Moden; deshalb fallen die Balken unten von rechts her ab: Mode $k$ sinkt nach $t_k = \ln 10/k^2$ unter 10% ihres Anfangswerts. Auf der logarithmischen Uhr beseitigt jede Verzehnfachung der Zeit etwa $\sqrt{10} \approx 3.2$-mal so breite Moden. Das rote Lineal $2\sqrt t$ zeigt diese Skala: Eine einzelne Mode, deren halbe Wellenlänge nicht größer als das Lineal ist, behält höchstens $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ ihrer Amplitude.

Was ändern die Enden? Auf 0 gehalten entsprechen sie Eis, und $u$ wird relativ zur Eistemperatur gemessen. Mit der Zeit bestimmt die niedrigste vorhandene Mode die Form. Ist die Anfangstemperatur nirgends negativ und nicht überall null, fließt Wärme durch die Enden ab, $\int u\,dx$ nimmt ab und die Form wird zu einem Sinusbogen, der wie $e^{-t}$ absinkt. Durch isolierte Enden fließt keine Wärme; $\int u\,dx$ bleibt deshalb konstant. Die Moden sind dann Kosinusse, und die Mode $k = 0$, die mittlere Temperatur, fällt nie ab: Der ganze Stab nähert sich seinem Mittelwert. Beide Randbedingungen gelten ab $t = 0$. Passt die Anfangstemperatur am Ende nicht dazu, wie beim gleichmäßig warmen Stab zwischen Eis, wird sie dort sofort angepasst.