Ecuación del calor

El gráfico superior muestra la temperatura $u$ a lo largo de una barra de 0 a $\pi$: atenuada al inicio y amarilla en el instante $t$. Las flechas azules indican a qué velocidad se calienta o se enfría cada punto. Debajo, la barra se colorea según la temperatura; la fila inferior muestra el tamaño de cada modo seno en escala logarítmica, o de cada modo coseno si los extremos están aislados.

¿Por qué cambia más rápido un punto donde la curva se dobla más? Para un paso pequeño $h$, $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$: es $2/h^2$ veces la diferencia entre la media de los dos vecinos y $u(x)$. Donde $u_{xx} > 0$, la curva se dobla hacia arriba: el punto está por debajo de la media de sus vecinos cercanos y se calienta. Donde $u_{xx} < 0$, se enfría. En un tramo recto, $u_t = 0$, por caliente que esté. La sonda lo muestra con dos vecinos próximos y su media. Los saltos y las esquinas se suavizan de inmediato: para todo $t > 0$, la temperatura forma una curva suave.

¿Por qué desaparecen primero las ondulaciones finas? Un modo individual, $\sin kx$ con los extremos a 0 o $\cos kx$ con los extremos aislados, satisface $u_{xx} = -k^2 u$. Por eso conserva su forma y solo disminuye por el factor $e^{-k^2 t}$. Tres veces más ondulaciones producen, a igual altura, una segunda derivada nueve veces mayor y un decaimiento nueve veces más rápido. Toda temperatura inicial es una suma de estos modos, así que las barras inferiores caen empezando por la derecha: el modo $k$ baja del 10% de su valor inicial después de $t_k = \ln 10/k^2$. Con el reloj logarítmico, cada multiplicación del tiempo por diez elimina modos unas $\sqrt{10} \approx 3.2$ veces más anchos. La regla roja $2\sqrt t$ indica esa escala: un modo individual cuya media longitud de onda no supere la regla conserva como máximo $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ de su amplitud.

¿Qué cambian los extremos? Mantenidos a 0, representan hielo, y $u$ se mide respecto a su temperatura. Con el tiempo, el modo más bajo presente al inicio domina la forma. Si la temperatura inicial nunca es negativa y no es nula en todas partes, el calor sale por los extremos, $\int u\,dx$ disminuye y el perfil se convierte en un arco sinusoidal que baja como $e^{-t}$. Por los extremos aislados no pasa calor, así que $\int u\,dx$ permanece constante. Los modos son entonces cosenos, y el modo $k = 0$, la temperatura media, nunca decae: toda la barra tiende a su media. Ambas condiciones actúan desde $t = 0$. Si el perfil inicial no cumple la condición en un extremo, como una barra uniforme entre hielo, se ajusta allí de inmediato.