Isı denklemi

Üst grafik, 0 ile $\pi$ arasındaki çubuk boyunca sıcaklığı, yani $u$ değerini gösterir: başlangıçta soluk, $t$ anında sarı. Mavi oklar her noktanın ısınma veya soğuma hızını gösterir. Altındaki şerit çubuğu sıcaklığa göre renklendirir; en alt sıra, her sinüs modunun büyüklüğünü logaritmik ölçekte gösterir. Uçlar yalıtılmışsa bunlar kosinüs modlarıdır.

Bir nokta neden eğrinin en çok kıvrıldığı yerde en hızlı değişir? Küçük bir $h$ adımı için $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$ olur: iki komşunun ortalaması ile $u(x)$ arasındaki farkın $2/h^2$ katı. $u_{xx} > 0$ olduğunda eğri yukarı kıvrılır; nokta yakın komşularının ortalamasından aşağıdadır ve ısınır. $u_{xx} < 0$ olduğunda ise soğur. Düz bir parçada, ne kadar sıcak olursa olsun $u_t = 0$ geçerlidir. Ölçüm aracı bunu iki yakın komşu ve ortalamalarıyla gösterebilir. Sıçramalar ve köşeler hemen düzgünleşir: her $t > 0$ için sıcaklık düzgün bir eğridir.

İnce dalgalanmalar neden önce kaybolur? Tek bir mod, uçlar 0’da tutulduğunda $\sin kx$, yalıtıldığında $\cos kx$, $u_{xx} = -k^2 u$ bağıntısını sağlar. Böylece şeklini korur ve yalnızca $e^{-k^2 t}$ çarpanıyla küçülür. Üç kat fazla dalgalanma, aynı yükseklikte dokuz kat büyük ikinci türev ve dokuz kat hızlı sönüm demektir. Her başlangıç sıcaklığı bu modların toplamıdır; bu yüzden alt sıradaki çubuklar sağdan başlayarak düşer: $k$ modu, $t_k = \ln 10/k^2$ sonrasında başlangıcının %10’unun altına iner. Logaritmik saatte zaman her on katına çıktığında yaklaşık $\sqrt{10} \approx 3.2$ kat geniş modlar silinir. Kırmızı cetvel $2\sqrt t$ bu ölçeği gösterir: yarı dalga boyu cetvelden uzun olmayan tek bir mod, genliğinin en fazla $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ kadarını korur.

Uçlar neyi değiştirir? 0’da tutulduklarında buzu temsil ederler; $u$ buz sıcaklığına göre ölçülür. Zamanla, başlangıçta bulunan en düşük mod şekle hâkim olur. Başlangıç sıcaklığı hiçbir yerde negatif değilse ve her yerde sıfır da değilse, ısı uçlardan çıkar, $\int u\,dx$ azalır ve şekil $e^{-t}$ gibi alçalan tek bir sinüs kemerine dönüşür. Yalıtılmış uçlardan ısı geçmez; bu yüzden $\int u\,dx$ sabit kalır. Modlar bu kez kosinüstür ve ortalama sıcaklık olan $k = 0$ modu hiç sönmez: çubuğun her yeri ortalamaya yaklaşır. Her iki sınır koşulu da $t = 0$ anından itibaren etkilidir. Uçta koşula uymayan başlangıç profili, buzların arasındaki eşit sıcaklıklı çubuk gibi, orada hemen koşula uydurulur.