Fourier serisi

Üst grafik, periyodu $2\pi$ olan $f$ fonksiyonunu siyahla ve kısmi toplamı $S_N$’yi sarıyla gösterir. Bu toplam sabit terimi ve $N$ frekansına kadar tüm kosinüs ve sinüsleri içerir. Ortadaki şerit, $f$ ile bir ölçüm dalgasını çarpar ve çarpım ile eksen arasındaki işaretli alanı boyar. Alt şerit, bu yolla bulunan katsayıları kosinüsler üstte, sinüsler altta olacak şekilde gösterir.

$f$ bütün dalgaları aynı anda içerirken tek bir alan nasıl tek bir katsayıyı seçer? Tam bir periyot boyunca $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ içindeki farklı iki dalganın çarpımının işaretli alanı sıfırdır; bir sinüs veya kosinüsün kendisiyle çarpımının alanı ise $\pi$’dir. Bu dalgaların toplamını $\sin kx$ ile çarpıp integralini almak, $b_k \sin kx$ dışındaki bütün terimleri yok eder ve geriye $\pi b_k$ kalır. İki sinüslü örnekte şerit, çarpımı ikiye ayırır; diğer frekanstan gelen kısım kendi içinde birbirini götürür. Dalgalar birbirine dik eksenler gibi davranır ve her katsayı bunlardan birine yapılan izdüşümdür. Bu nedenle yeni bir terim eklemek, önceden bulunan katsayıları hiç değiştirmez.

Yeterince terim eklendiğinde kısmi toplamlar sıçramanın yanında fonksiyonu aşar. $N$ büyüdükçe tepe daralır ve sıçramaya yaklaşır, ama aşım kaybolmaz: kare dalgada fazlalık, sıçrama yüksekliğinin yaklaşık 8.949%’ine yaklaşır. Her $S_N$ sürekli olduğu için sıçramayı kısa bir aralıkta geçmek zorundadır; sıçramayı içeren hiçbir aralıkta en büyük hatası 0’a yaklaşamaz. Süreklilik tek başına aşımın büyüklüğünü belirlemez: 8.949% değeri kısmi toplamların hesabından çıkar ve parçalı düzgün bir fonksiyonun her sıçramasında sonuçta aynı oran görülür.

Daha düzgün fonksiyonlar daha az terim gerektirir. Burada $f$ sonsuza dek tekrarlanan fonksiyondur; dolayısıyla $\pm\pi$ noktalarındaki uçlar birleşmiyorsa orada da sıçrama vardır. Kısmi integrasyon, türevi dalgadan $f$ üzerine aktarır ve bir $1/k$ çarpanı getirir. Sıçrama varsa ilk adımda $1/k$ çarpanı içeren bir sınır terimi kalır: kare dalganın katsayıları tek $k$ için $b_k = 4/(k\pi)$, çift $k$ için 0’dır. $f$ sürekli olup eğimi sıçrıyorsa, üçgen dalganın köşelerinde olduğu gibi ilk adım bu sınır terimi olmadan geçilir ve ikinci adımda terim kalır; böylece katsayılar $1/k^2$ gibi küçülür. Logaritmik ölçekte çubukları kesikli $1/k$ ve $1/k^2$ çizgileriyle karşılaştırın.

Enerji göstergesi aynı diklik özelliğini karelere uygular. $f^2$ ifadesinin integrali, çapraz terimler olmadan katsayıların karelerine ayrılır: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ Gösterge, bu toplamın ne kadarının $S_N$ içinde bulunduğunu verir; kalan kısım, aynı integralle ölçülen karesel hatadır. Kare dalgada $S_1$ yaklaşık 81%, $S_9$ yaklaşık 96% enerji taşırken aşım hâlâ vardır: dar bir tepe alana az katkı yapar. Bir kısmi toplam, ortalama olarak $f$ fonksiyonuna yakınken sıçramanın yanında ondan uzak kalabilir.