Ряд Фурье

Верхний график показывает чёрным функцию $f$ с периодом $2\pi$, а жёлтым — её частичную сумму $S_N$: постоянный член и все косинусы и синусы до частоты $N$. Средняя полоса умножает $f$ на одну пробную волну и закрашивает площадь со знаком между произведением и осью. Нижняя полоса показывает найденные таким способом коэффициенты: косинусные сверху, синусные снизу.

Почему одна площадь выделяет один коэффициент, если $f$ содержит все волны сразу? На полном периоде произведение двух разных волн из $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ имеет нулевую площадь со знаком, а синус или косинус, умноженный на себя, даёт площадь $\pi$. Поэтому умножение суммы этих волн на $\sin kx$ и интегрирование убирает все члены, кроме $b_k \sin kx$, оставляя $\pi b_k$. В примере с двумя синусами полоса разделяет произведение на две части; часть с другой частотой компенсируется сама собой. Волны ведут себя как перпендикулярные оси, а каждый коэффициент — проекция на одну из них. Поэтому добавление члена никогда не меняет уже найденные коэффициенты.

При достаточно большом числе членов частичные суммы выходят за значения функции рядом со скачком. С ростом $N$ пик сужается и приближается к скачку, но выброс не исчезает: у прямоугольной волны превышение стремится примерно к 8.949% высоты скачка. Каждая $S_N$ непрерывна и потому должна пройти через скачок на небольшом промежутке; на любом интервале со скачком её наибольшая ошибка не может стремиться к 0. Одна лишь непрерывность не определяет величину выброса: 8.949% получаются из расчёта частичных сумм, и у каждого скачка кусочно-гладкой функции в пределе возникает та же доля.

Более гладким функциям нужно меньше членов. Здесь $f$ означает функцию, повторённую бесконечно, поэтому несовпадающие концы в $\pm\pi$ тоже образуют скачок. Интегрирование по частям переносит производную с волны на $f$ и даёт множитель $1/k$. При наличии скачка уже первый шаг оставляет граничный член с множителем $1/k$: у прямоугольной волны коэффициенты равны $b_k = 4/(k\pi)$ для нечётных $k$ и 0 для чётных $k$. Если $f$ непрерывна, но её наклон меняется скачком, как в углах треугольной волны, первый шаг проходит без такого граничного члена, а второй его оставляет. Поэтому коэффициенты убывают как $1/k^2$. На логарифмической шкале сравните столбики с пунктирными линиями $1/k$ и $1/k^2$.

Индикатор энергии применяет ту же перпендикулярность к квадратам. Интеграл $f^2$ раскладывается в квадраты коэффициентов без перекрёстных членов: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ Индикатор показывает долю этой суммы, уже содержащуюся в $S_N$; остаток — её квадратичная ошибка, измеренная тем же интегралом. Для прямоугольной волны $S_1$ содержит около 81%, а $S_9$ — около 96%, хотя выброс остаётся: узкий пик добавляет мало площади. Частичная сумма может быть близка к $f$ в среднем и всё ещё заметно отличаться рядом со скачком.