Бесконечные ряды

У бесконечного ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ нет последнего члена, поэтому мы рассматриваем сумму первых n членов — частичную сумму $S_n$ — при росте n. Если $S_n$ стремится к числу S, ряд сходится, а S — его сумма. Иначе он расходится.

График показывает $S_n$ в зависимости от n на логарифмической оси от 1 до миллиона. На числовой прямой слева каждый член изображён дугой от $S_{k-1}$ до $S_k$. У положительных членов все дуги идут в одну сторону, а при чередовании знаков — то в одну, то в другую.

Стремление членов к 0 необходимо для сходимости, поскольку $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Но этого недостаточно. У гармонического ряда $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ члены стремятся к 0, а частичные суммы растут неограниченно. Сравнение с интегралом объясняет почему: прямоугольник высоты 1/k на [k, k + 1] лежит выше кривой y = 1/x, поэтому $S_n > \ln(n+1)$. Рост настолько медленный, что миллион членов даёт всего около 14,39.

Те же прямоугольники позволяют исследовать обобщённый гармонический ряд $\sum 1/k^p$: он сходится тогда и только тогда, когда p > 1. При p > 1 они также ограничивают оставшуюся после n членов часть — остаток $R_n = S - S_n$:

Поэтому страница может указать интервал, который обязательно содержит предел, даже если для него нет простой формулы. Но узкий интервал не означает, что $S_n$ близка к пределу. При p = 1.1 даже миллион членов не добирает до него примерно 2,5. Тем не менее прибавление $S_n$ к обоим интегралам даёт очень узкий интервал, содержащий предел.

У геометрического ряда $r + r^2 + r^3 + \cdots$ частичные суммы выражаются явной формулой:

При r = ½ каждый член заполняет половину оставшегося промежутка. Это показано в окне Оставшееся расстояние, и $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$. При r = 1 частичные суммы неограниченно растут, а при r = −1 бесконечно чередуются между −1 и 0.

Если знаки членов чередуются, а их модули убывают к 0, ряд сходится и его сумма всегда лежит между двумя соседними частичными суммами. Каждый такой интервал вложен в предыдущий, а ширина стремится к 0, поэтому они стягиваются к одному числу. Окно Вложенные интервалы показывает их друг под другом. На странице два таких ряда: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ и ряд Лейбница $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$.

Знакочередующийся гармонический ряд сходится лишь условно: без знаков ряд $\sum 1/k$ расходится. По теореме Римана его члены можно переставить так, чтобы ряд сходился к любому числу T. Режим Перестановка сохраняет исходный порядок членов каждого знака: при сумме не выше T добавляет следующий положительный, а выше T — следующий отрицательный. Положительные члены отдельно дают +∞, отрицательные — −∞, поэтому каждый такой ход достигает T или пересекает его. Перескок не больше модуля вызвавшего его члена, а члены стремятся к 0, поэтому суммы стремятся к T.