Series infinitas

Una serie infinita $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ no tiene último término. Por eso estudiamos la suma de sus n primeros términos, la suma parcial $S_n$, al crecer n. Si $S_n$ tiende a un número S, la serie converge y S es su suma. Si no, diverge.

La gráfica representa $S_n$ frente a n, con un eje logarítmico de 1 a un millón. La recta numérica de la izquierda dibuja cada término como un arco desde $S_{k-1}$ hasta $S_k$. Los términos positivos producen arcos que avanzan en un mismo sentido; los alternos producen arcos de ida y vuelta.

Para converger, es necesario que los términos tiendan a 0, porque $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. No basta. Los términos de la serie armónica $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ tienden a 0, pero sus sumas parciales crecen sin cota. La opción Comparación integral muestra por qué: el rectángulo de altura 1/k sobre [k, k + 1] queda por encima de la curva y = 1/x, así que $S_n > \ln(n+1)$. El crecimiento es tan lento que un millón de términos solo suman unos 14.39.

Los mismos rectángulos resuelven el caso de la serie p $\sum 1/k^p$: converge exactamente cuando p > 1. Para p > 1 también acotan lo que falta tras n términos, el resto $R_n = S - S_n$:

Así, la página puede dar un intervalo que necesariamente contiene el límite, incluso cuando este no tiene una fórmula sencilla. Sin embargo, un intervalo estrecho no significa que $S_n$ esté cerca. Con p = 1.1, tras un millón de términos aún faltan unos 2.5 para llegar al límite. Aun así, sumar $S_n$ a las dos integrales da un intervalo diminuto que lo contiene.

Las sumas parciales de la serie geométrica $r + r^2 + r^3 + \cdots$ tienen una fórmula explícita:

Con r = ½, cada término cubre la mitad de la distancia restante, como muestra Distancia restante, y $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$. Con r = 1, las sumas parciales crecen sin cota; con r = −1, alternan entre −1 y 0 indefinidamente.

Si los términos alternan de signo y sus valores absolutos decrecen hasta 0, la serie converge y su suma siempre queda entre dos sumas parciales vecinas. Cada intervalo está dentro del anterior y sus anchuras tienden a 0, de modo que se cierran sobre un único número. La opción Intervalos encajados los apila. La página incluye dos series así: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ y la de Leibniz, $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$.

La serie armónica alternada converge solo condicionalmente: sin los signos, $\sum 1/k$ diverge. El teorema de reordenación de Riemann dice que una serie así se puede reordenar para converger a cualquier número T. La opción Reordenada mantiene el orden original de los términos de cada signo: si la suma es menor o igual que T, añade el positivo siguiente; si es mayor, el negativo siguiente. Los términos positivos por sí solos suman +∞ y los negativos −∞, así que cada secuencia alcanza o cruza T. Cada exceso es como máximo el valor absoluto del término que lo provoca, y los términos tienden a 0; por eso las sumas tienden a T.