无穷级数

无穷级数$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$没有最后一项，所以要看前n项之和，也就是部分和$S_n$，随n增大怎样变化。$S_n$趋于一个数S时，级数收敛，S就是它的和；否则级数发散。

图里按对数刻度画出$S_n$随n从1到一百万的变化。左边的数轴把每一项画成一段弧，从$S_{k-1}$到$S_k$。各项都为正时，弧全朝一个方向；正负交错时，弧来回摆动。

项趋于0是收敛的必要条件，因为$a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$。但这还不够。调和级数$1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$的项趋于0，部分和却无限增大。“积分比较”说明了原因：区间[k, k + 1]上高为1/k的矩形在曲线y = 1/x上方，所以$S_n > \ln(n+1)$。它增长得非常慢，加了一百万项也才约14.39。

同样的矩形也能判断p级数$\sum 1/k^p$：它恰好在p > 1时收敛。p > 1时，这些矩形还能把加了n项之后剩下的部分，也就是余项$R_n = S - S_n$，夹在两个积分之间：

所以，即使极限没有简单的公式，页面也能给出一个一定包含它的区间。不过区间窄，不等于$S_n$已经很接近极限。p = 1.1时，一百万项的部分和离极限还差约2.5。但给两个积分各加上$S_n$，得到的区间已经很窄，并且包含极限。

几何级数$r + r^2 + r^3 + \cdots$的部分和有封闭的公式：

r = ½时，每一项都补上还剩下的缺口的一半，“剩下的缺口”画的就是这件事，于是$\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$。r = 1时部分和无限增大；r = −1时部分和在−1和0之间来回跳，永远停不下来。

如果各项正负交错，绝对值递减并趋于0，级数就收敛，而且它的和总在相邻两个部分和之间。每个这样的区间都落在前一个里面，宽度趋于0，于是它们收拢到一个数上。“嵌套区间”把它们一层层摞起来。本页有两个这样的级数：$1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$，以及莱布尼茨级数$1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$。

交错调和级数只是条件收敛：去掉符号，$\sum 1/k$是发散的。黎曼重排定理说，这样的级数重新排列以后，可以收敛到任何一个数T。“重排”保留同号项原来的顺序：和不大于T时加下一个正项，大于T时加下一个负项。正项单独加起来趋于+∞，负项单独加起来趋于−∞，所以每一轮都会到达或越过T。每次越过T的偏差不超过刚加的那一项的绝对值，而项趋于0，所以部分和稳定在T上。