Deret tak hingga

Deret tak hingga $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ tidak memiliki suku terakhir; karena itu kita mengamati jumlah n suku pertama, yaitu jumlah parsial $S_n$, saat n bertambah. Jika $S_n$ mendekati suatu angka S, deret konvergen dan S adalah jumlahnya. Jika tidak, deret divergen.

Grafik menggambar $S_n$ terhadap n pada sumbu logaritmik dari 1 hingga satu juta. Garis bilangan di kiri menggambar setiap suku sebagai busur dari $S_{k-1}$ ke $S_k$. Suku positif menghasilkan busur yang semuanya searah, sedangkan suku berselang-seling menghasilkan busur yang berayun bolak-balik.

Suku yang menuju 0 adalah syarat perlu untuk konvergen, karena $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Tetapi ini tidak cukup. Deret harmonik $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ memiliki suku-suku yang menuju 0, tetapi jumlah parsialnya bertambah tanpa batas. Perbandingan integral menjelaskan alasannya: persegi panjang setinggi 1/k pada [k, k + 1] berada di atas kurva y = 1/x, sehingga $S_n > \ln(n+1)$. Pertumbuhannya sangat lambat; satu juta suku hanya berjumlah sekitar 14,39.

Persegi panjang yang sama menentukan perilaku deret-p $\sum 1/k^p$: deret konvergen jika dan hanya jika p > 1. Untuk p > 1, persegi panjang itu juga membatasi sisa setelah n suku, $R_n = S - S_n$:

Jadi, halaman ini dapat memberikan interval yang pasti memuat limit, bahkan jika limit tidak memiliki rumus sederhana. Namun, interval sempit tidak berarti $S_n$ sudah dekat. Pada p = 1.1, satu juta suku masih kurang sekitar 2,5 dari limit. Meski begitu, menambahkan $S_n$ pada kedua integral menghasilkan interval sangat sempit yang memuat limit.

Deret geometri $r + r^2 + r^3 + \cdots$ memiliki jumlah parsial dengan rumus eksplisit:

Dengan r = ½, setiap suku menutup separuh selisih yang masih terbuka, seperti yang digambar oleh Selisih tersisa, dan $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$. Pada r = 1, jumlah parsial bertambah tanpa batas; pada r = −1, jumlah parsial terus berganti antara −1 dan 0 selamanya.

Jika tanda suku berselang-seling dan nilai mutlaknya menurun menuju 0, deret konvergen, dan jumlahnya selalu berada di antara dua jumlah parsial bertetangga. Setiap interval berada di dalam interval sebelumnya, dan lebarnya mengecil menuju 0, sehingga semuanya mengapit satu angka. Interval bersarang menumpuknya. Halaman ini memiliki dua deret demikian: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ dan deret Leibniz $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$.

Deret harmonik berselang-seling hanya konvergen bersyarat: tanpa tanda negatif, $\sum 1/k$ divergen. Teorema penyusunan ulang Riemann menyatakan bahwa deret seperti ini dapat disusun ulang agar konvergen ke angka T mana pun. Disusun ulang mempertahankan urutan asli suku untuk tiap tanda: saat jumlah sama dengan atau di bawah T, suku positif berikutnya ditambahkan; di atas T, suku negatif berikutnya ditambahkan. Suku positif saja berjumlah menuju +∞ dan suku negatif menuju −∞, sehingga setiap rangkaian penambahan mencapai atau melintasi T. Besar lompatan melewati target tidak melebihi nilai mutlak suku penyebabnya, dan suku-suku menuju 0, sehingga jumlah mendekati T.