Notasi sigma

Notasi sigma menulis jumlah banyak suku dalam satu ekspresi dengan huruf Yunani kapital $\Sigma$. Indeks $k$ dimulai dari batas bawah $m$ di bawah $\Sigma$, lalu bertambah satu per satu hingga batas atas $n$ di atasnya. Setiap nilai indeks menghasilkan satu suku $a_k$. Yang dijumlahkan adalah suku-sukunya, bukan nilai indeks:

Jika $m \le n$, ada $n - m + 1$ suku: kedua batas termasuk, berbeda dengan range(m, n) dalam beberapa bahasa pemrograman yang berhenti sebelum $n$. Batasnya dapat berupa bilangan bulat apa pun; jumlah yang sama juga ditulis $\sum_{m \le k \le n} a_k$.

Di sini setiap suku berupa batang di atas indeksnya. Di sampingnya, diagram jumlah kumulatif melacak total berturut-turut, satu panah untuk setiap suku. Anda dapat memilih batas dan suku, memeriksa satu suku untuk melihat indeks asalnya dan jumlah hingga suku itu, atau menambahkan suku satu per satu dengan satu baris perhitungan untuk masing-masing.

Indeks hanya bermakna di dalam jumlah. Ganti namanya di semua tempat, di bawah $\Sigma$ dan di dalam suku, dan tidak ada yang berubah: $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Karena itu indeks disebut variabel semu. Mengganti nama hanya di satu tempat mengubah ekspresi: pada $\sum_{j=1}^{3} k^2$, suku tidak bergantung pada $j$, sehingga jumlahnya $3k^2$. Tugas indeks adalah menentukan suku mana yang ada, jadi indeks tidak harus muncul di dalam suku. Untuk $m \le n$, menjumlahkan konstanta dari $k = m$ sampai $n$ berarti menambahkan konstanta itu $n - m + 1$ kali: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Saat ada suku ($m \le n$), menggeser satu batas sebesar satu mengubah jumlah tepat sebesar satu suku di ujung itu, karena kedua ujung termasuk. Menaikkan batas atas memasukkan suku berikutnya, sedangkan menaikkan batas bawah mengeluarkan suku pertama.

Jika batas atas lebih rendah daripada batas bawah, seperti pada $\sum_{k=5}^{4} a_k$, indeks tidak mengambil nilai dan tidak ada suku. Menurut kesepakatan umum, jumlah kosong ini bernilai 0: total dimulai dari 0 dan tidak ada yang ditambahkan. Kesepakatan ini menjaga hubungan dari satu batas ke batas berikutnya tetap berlaku sejak awal: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$ berlaku pada $n = 1$, ketika jumlah di kanan tidak memiliki suku. Jumlah tanpa suku berbeda dengan suku-suku yang saling meniadakan: pada $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$, keenam sukunya tetap ada.