Summenzeichen

Mit dem Summenzeichen, dem großen griechischen Buchstaben $\Sigma$, schreibt man eine Summe vieler Summanden als einen Ausdruck. Der Index $k$ beginnt bei der unteren Grenze $m$ unter dem $\Sigma$ und steigt jeweils um 1 bis zur oberen Grenze $n$ darüber. Jeder Indexwert liefert einen Summanden $a_k$. Addiert werden die Summanden, nicht die Indexwerte:

Für $m \le n$ gibt es $n - m + 1$ Summanden: Beide Grenzen sind eingeschlossen, anders als bei range(m, n) in manchen Programmiersprachen, das vor $n$ endet. Die Grenzen dürfen beliebige ganze Zahlen sein; dieselbe Summe schreibt man auch als $\sum_{m \le k \le n} a_k$.

Hier steht für jeden Summanden ein Balken über seinem Index. Daneben verfolgt das Diagramm der laufenden Summe die Zwischenergebnisse, mit einem Pfeil pro Summand. Du kannst Grenzen und Summanden wählen, einen Summanden mit seinem Index und dem bis dahin erreichten Gesamtwert ansehen oder einzeln addieren und für jeden Summanden eine Rechenzeile festhalten.

Der Index hat nur innerhalb der Summe Bedeutung. Benenne ihn überall um, unter dem $\Sigma$ und im Summanden: Es ändert sich nichts, $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Deshalb heißt er eine gebundene Variable. Änderst du den Namen nur an einer Stelle, ändert sich der Ausdruck: In $\sum_{j=1}^{3} k^2$ hängt der Summand nicht von $j$ ab, also ist die Summe $3k^2$. Der Index legt fest, welche Summanden vorkommen; er muss daher nicht selbst im Summanden stehen. Für $m \le n$ ist eine Konstante von $k = m$ bis $n$ zu summieren dasselbe, wie sie $n - m + 1$-mal zu addieren: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Sind Summanden vorhanden ($m \le n$), ändert eine um 1 verschobene Grenze die Summe um genau einen Summanden an diesem Ende, weil beide Grenzen mitzählen: Eine höhere obere Grenze nimmt den nächsten Summanden hinzu, eine höhere untere Grenze entfernt den ersten.

Liegt die obere Grenze unter der unteren, wie in $\sum_{k=5}^{4} a_k$, nimmt der Index keinen Wert an und es gibt keine Summanden. Nach der üblichen Vereinbarung ist diese leere Summe gleich 0: Die Gesamtsumme beginnt bei 0, und nichts wird hinzugefügt. Dadurch gilt der Übergang von einer Grenze zur nächsten schon ganz am Anfang: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$ gilt auch bei $n = 1$, wo die Summe rechts keine Summanden hat. Keine Summanden zu haben ist etwas anderes, als wenn sich Summanden aufheben: In $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$ sind alle sechs vorhanden.