Unendliche Reihen

Eine unendliche Reihe $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ hat kein letztes Glied. Deshalb betrachten wir mit wachsendem n die Summe ihrer ersten n Glieder, die Partialsumme $S_n$. Nähert sich $S_n$ einer Zahl S, konvergiert die Reihe und S ist ihre Summe. Andernfalls divergiert sie.

Der Graph trägt $S_n$ gegen n auf einer logarithmischen Achse von 1 bis zu einer Million auf. Die Zahlengerade links zeigt jedes Glied als Bogen von $S_{k-1}$ zu $S_k$. Bei positiven Gliedern verlaufen alle Bögen in dieselbe Richtung; bei alternierenden Gliedern schwingen sie hin und her.

Für Konvergenz müssen die Glieder gegen 0 gehen, denn $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Das reicht aber nicht aus. Die Glieder der harmonischen Reihe $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ gehen gegen 0, während ihre Partialsummen unbegrenzt wachsen. Die Option Integralvergleich zeigt den Grund: Das Rechteck der Höhe 1/k auf [k, k + 1] liegt über der Kurve y = 1/x, also $S_n > \ln(n+1)$. Das Wachstum ist so langsam, dass selbst eine Million Glieder nur etwa 14,39 ergeben.

Dieselben Rechtecke entscheiden die Konvergenz der p-Reihe $\sum 1/k^p$: Sie konvergiert genau dann, wenn p > 1. Für p > 1 grenzen sie außerdem den Rest nach n Gliedern ein, das Restglied $R_n = S - S_n$:

So kann die Seite ein Intervall angeben, das den Grenzwert sicher enthält, selbst wenn es keine einfache Formel dafür gibt. Ein schmales Intervall bedeutet allerdings nicht, dass $S_n$ schon nahe am Grenzwert liegt. Bei p = 1,1 fehlen nach einer Million Gliedern noch etwa 2,5. Addiert man aber $S_n$ zu den beiden Integralen, erhält man ein winziges Intervall, das den Grenzwert enthält.

Für die Partialsummen der geometrischen Reihe $r + r^2 + r^3 + \cdots$ gibt es eine geschlossene Formel:

Bei r = ½ füllt jedes Glied die Hälfte des verbleibenden Abstands. Genau das zeigt die Option Verbleibender Abstand, und es gilt $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$. Bei r = 1 wachsen die Partialsummen unbegrenzt; bei r = −1 springen sie unaufhörlich zwischen −1 und 0.

Wechseln die Vorzeichen der Glieder und fallen ihre Beträge monoton gegen 0, konvergiert die Reihe. Ihre Summe liegt stets zwischen zwei benachbarten Partialsummen. Jedes dieser Intervalle liegt im vorherigen und ihre Breiten gehen gegen 0, sodass sie eine einzige Zahl einschließen. Die Option Intervallschachtelung stapelt sie. Die Seite zeigt zwei solche Reihen: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ und die Leibniz-Reihe $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$.

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert nur bedingt: Ohne die Vorzeichen divergiert $\sum 1/k$. Nach dem riemannschen Umordnungssatz lässt sich eine solche Reihe so umordnen, dass sie gegen jede beliebige Zahl T konvergiert. Die Option Umgeordnet behält innerhalb jeder Vorzeichengruppe die ursprüngliche Reihenfolge bei. Liegt die Summe bei oder unter T, folgt das nächste positive Glied; liegt sie darüber, das nächste negative. Die positiven Glieder allein summieren sich zu +∞, die negativen zu −∞, sodass jeder Durchgang T erreicht oder überschreitet. Der Abstand nach einem Seitenwechsel ist höchstens der Betrag des auslösenden Glieds. Da die Glieder gegen 0 gehen, nähern sich die Summen T.