Serie infinite

Una serie infinita $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ non ha un ultimo termine. Studiamo quindi la somma dei primi n termini, la somma parziale $S_n$, al crescere di n. Se $S_n$ tende a un numero S, la serie converge e S è la sua somma. Altrimenti diverge.

Il grafico mostra $S_n$ in funzione di n, su un asse logaritmico da 1 a un milione. La retta numerica a sinistra disegna ogni termine come un arco da $S_{k-1}$ a $S_k$. I termini positivi producono archi tutti nello stesso verso, quelli a segni alterni archi che vanno avanti e indietro.

Per convergere, è necessario che i termini tendano a 0, perché $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Non è sufficiente. I termini della serie armonica $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ tendono a 0, ma le sue somme parziali crescono senza limite. L’opzione Confronto integrale mostra perché: il rettangolo di altezza 1/k su [k, k + 1] sta sopra la curva y = 1/x, quindi $S_n > \ln(n+1)$. La crescita è così lenta che un milione di termini somma ad appena 14.39 circa.

Gli stessi rettangoli risolvono il caso della serie armonica generalizzata $\sum 1/k^p$: converge se e solo se p > 1. Per p > 1 delimitano anche ciò che resta dopo n termini, il resto $R_n = S - S_n$:

La pagina può così fornire un intervallo che contiene certamente il limite, anche quando non esiste una formula semplice per esprimerlo. Un intervallo stretto, però, non significa che $S_n$ sia vicino. Per p = 1.1, dopo un milione di termini mancano ancora circa 2.5 al limite. Eppure, aggiungere $S_n$ ai due integrali dà un intervallo minuscolo che lo contiene.

Le somme parziali della serie geometrica $r + r^2 + r^3 + \cdots$ hanno una formula esplicita:

Con r = ½ ogni termine colma metà della distanza residua, come mostra Distanza residua, e $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$. Per r = 1 le somme parziali crescono senza limite; per r = −1 alternano per sempre −1 e 0.

Se i segni dei termini si alternano e i loro valori assoluti decrescono fino a 0, la serie converge e la sua somma è sempre fra due somme parziali vicine. Ogni intervallo è contenuto nel precedente e le ampiezze tendono a 0: si stringono quindi su un unico numero. L’opzione Intervalli annidati li impila. La pagina propone due serie di questo tipo: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ e quella di Leibniz, $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$.

La serie armonica alternata converge solo condizionatamente: senza i segni, $\sum 1/k$ diverge. Il teorema di riordinamento di Riemann afferma che una serie di questo tipo può essere riordinata per convergere a qualsiasi numero T. L’opzione Riordinata mantiene l’ordine originale dei termini di ciascun segno: se la somma è minore o uguale a T aggiunge il positivo successivo, altrimenti il negativo successivo. I soli termini positivi sommano a +∞ e quelli negativi a −∞, quindi ogni sequenza raggiunge o attraversa T. Ogni sconfinamento è al massimo il valore assoluto del termine che lo causa, e i termini tendono a 0: le somme tendono quindi a T.