무한급수

무한급수 $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$에는 마지막 항이 없으므로 처음 n개 항의 합인 부분합 $S_n$의 변화를 n이 커질 때 살펴봅니다. $S_n$의 값이 하나의 수 S에 가까워지면 급수는 수렴하며 S가 그 합입니다. 그렇지 않으면 발산합니다.

그래프는 1부터 백만까지의 로그 축 위에서 n에 따른 $S_n$의 값을 그립니다. 왼쪽 수직선은 각 항을 $S_{k-1}$에서 $S_k$로 이어지는 호로 보여 줍니다. 양의 항의 호는 모두 한 방향으로 진행하고 교대하는 항의 호는 오갑니다.

수렴하려면 항이 0에 가까워져야 합니다. $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$이기 때문입니다. 하지만 그것만으로 충분하지는 않습니다. 조화급수 $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$의 항은 0에 가까워져도 부분합은 한없이 커집니다. 적분 비교가 이유를 보여 줍니다. [k, k + 1]에서 높이가 1/k인 직사각형은 곡선 y = 1/x 위에 있으므로 $S_n > \ln(n+1)$입니다. 증가가 너무 느려 백만 항을 더해도 약 14.39에 불과합니다.

같은 직사각형으로 p급수 $\sum 1/k^p$도 판정합니다. 이 급수는 p > 1일 때, 그리고 그때만 수렴합니다. p > 1이면 n개 항 뒤에 남은 나머지 $R_n = S - S_n$의 범위도 정해 줍니다:

따라서 극한을 간단한 식으로 쓸 수 없더라도 반드시 극한을 포함하는 구간을 제시할 수 있습니다. 하지만 구간이 좁다고 $S_n$의 값이 극한에 가깝다는 뜻은 아닙니다. p = 1.1이면 백만 항을 더해도 극한에 약 2.5만큼 못 미칩니다. 그래도 두 적분에 $S_n$의 값을 더하면 극한을 포함하는 아주 좁은 구간을 얻습니다.

등비급수 $r + r^2 + r^3 + \cdots$의 부분합은 닫힌 형태의 식으로 쓸 수 있습니다:

r = ½이면 각 항은 남은 차이의 절반을 메웁니다. 남은 차이가 그 모습을 그리며 $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$입니다. r = 1에서는 부분합이 한없이 커지고 r = −1에서는 −1과 0 사이를 끝없이 오갑니다.

항의 부호가 번갈아 바뀌고 절댓값이 감소하여 0에 가까워지면 급수는 수렴하며 그 합은 항상 이웃한 두 부분합 사이에 있습니다. 각 구간은 이전 구간 안에 들어가고 폭이 0으로 줄어들어 하나의 수로 좁혀집니다. 중첩 구간은 이 구간들을 쌓아 보여 줍니다. 이 페이지에는 $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$와 라이프니츠 급수 $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$, 두 가지가 있습니다.

교대조화급수는 조건수렴만 합니다. 부호를 없앤 $\sum 1/k$의 급수는 발산합니다. 리만 재배열 정리에 따르면 이런 급수는 순서를 바꾸어 임의의 수 T로 수렴시킬 수 있습니다. 재배열에서는 각 부호의 항을 원래 순서대로 유지하며 합이 T 이하이면 다음 양의 항을, T보다 크면 다음 음의 항을 더합니다. 양의 항만 더하면 +∞로, 음의 항만 더하면 −∞로 가므로 각 차례에 T에 닿거나 넘어섭니다. 넘어서는 폭은 그때 더한 항의 절댓값 이하이며 항은 0에 가까워지므로 합은 T에 수렴합니다.