無窮級數

無窮級數$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$沒有最後一項，因此我們觀察前n項的和，也就是部分和$S_n$，在n增加時如何變化。若$S_n$趨近某個數S，級數就收斂，S是它的和；否則便發散。

圖形以1到一百萬的對數軸表示n，繪出$S_n$。左側數線將每一項畫成從$S_{k-1}$到$S_k$的弧。正項的弧都朝同一方向，交錯項的弧則來回擺動。

收斂需要各項趨近0，因為$a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$。但這還不夠。調和級數$1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$的各項趨近0，部分和卻無限增長。積分比較說明原因：[k, k + 1]上高為1/k的長方形高於曲線y = 1/x，因此$S_n > \ln(n+1)$。增長非常緩慢，一百萬項的和也只有約14.39。

同樣的長方形也能判定p級數$\sum 1/k^p$：它恰在p > 1時收斂。當p > 1，還能夾住n項之後剩餘的部分，也就是餘項$R_n = S - S_n$：

因此，即使極限沒有簡單公式，頁面仍能給出必定包含它的區間。不過區間很窄，不代表$S_n$已接近極限。p = 1.1時，加到一百萬項仍比極限少約2.5；但將$S_n$加上兩個積分，卻能得到包含極限的極窄區間。

等比級數$r + r^2 + r^3 + \cdots$的部分和有封閉形式：

r = ½時，每項填滿剩餘差距的一半，這正是剩餘差距繪出的內容，且$\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$。r = 1時部分和無限增長；r = −1時，則永遠在−1與0之間跳動。

若各項符號交錯，且絕對值遞減至0，級數就收斂，和始終介於相鄰兩個部分和之間。每個區間都包含在前一個區間內，寬度逐漸縮至0，因而夾住唯一一個數。巢狀區間將這些區間上下排列。本頁有兩個例子：$1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$，以及萊布尼茲的$1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$。

交錯調和級數只條件收斂：去掉符號後，$\sum 1/k$發散。黎曼重排定理指出，這類級數可調整順序，收斂至任意數T。重排保留同號各項的原順序：和不大於T時，加入下一個正項；大於T時，加入下一個負項。正項單獨相加趨向+∞，負項則趨向−∞，因此每一輪都會到達或越過T。越界幅度不超過造成越界的項的絕對值，而各項趨近0，所以和會趨近T。