Séries infinies

Une série infinie $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ n’a pas de dernier terme. On étudie donc la somme de ses n premiers termes, la somme partielle $S_n$, quand n augmente. Si $S_n$ tend vers un nombre S, la série converge et S est sa somme. Sinon, elle diverge.

Le graphique représente $S_n$ en fonction de n, sur un axe logarithmique de 1 à un million. La droite numérique à gauche dessine chaque terme comme un arc de $S_{k-1}$ à $S_k$. Les termes positifs donnent des arcs allant tous dans le même sens ; les termes de signes alternés donnent des arcs en va-et-vient.

Pour converger, les termes doivent tendre vers 0, car $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Cela ne suffit pas. Les termes de la série harmonique $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ tendent vers 0, mais ses sommes partielles croissent sans borne. L’option Comparaison intégrale montre pourquoi : le rectangle de hauteur 1/k sur [k, k + 1] est au-dessus de la courbe y = 1/x, donc $S_n > \ln(n+1)$. La croissance est si lente qu’un million de termes ne totalisent qu’environ 14.39.

Les mêmes rectangles permettent de conclure pour la série de Riemann $\sum 1/k^p$ : elle converge si et seulement si p > 1. Pour p > 1, ils encadrent aussi ce qui reste après n termes, le reste $R_n = S - S_n$ :

La page peut donc donner un intervalle contenant nécessairement la limite, même sans formule simple pour celle-ci. Un intervalle étroit ne signifie toutefois pas que $S_n$ est proche. Pour p = 1.1, un million de termes restent à environ 2.5 de la limite. Pourtant, ajouter $S_n$ aux deux intégrales donne un intervalle minuscule qui la contient.

Les sommes partielles de la série géométrique $r + r^2 + r^3 + \cdots$ ont une expression explicite :

Pour r = ½, chaque terme comble la moitié de l’écart restant, ce qu’illustre Écart restant, et $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$. Pour r = 1, les sommes partielles croissent sans borne ; pour r = −1, elles alternent indéfiniment entre −1 et 0.

Si les signes des termes alternent et leurs valeurs absolues décroissent vers 0, la série converge et sa somme reste entre deux sommes partielles voisines. Chaque intervalle est inclus dans le précédent, et leurs largeurs tendent vers 0 : ils se resserrent sur un seul nombre. L’option Intervalles emboîtés les empile. La page propose deux séries de ce type : $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ et celle de Leibniz, $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$.

La série harmonique alternée ne converge que conditionnellement : sans les signes, $\sum 1/k$ diverge. Le théorème de réarrangement de Riemann affirme qu’une telle série peut être réordonnée pour converger vers n’importe quel nombre T. L’option Réarrangée conserve l’ordre initial des termes de chaque signe : si la somme est inférieure ou égale à T, elle ajoute le terme positif suivant ; sinon, le négatif suivant. Les termes positifs seuls ont pour somme +∞, et les négatifs −∞ : chaque séquence atteint ou franchit donc T. Le dépassement ne dépasse pas la valeur absolue du terme qui le provoque, et les termes tendent vers 0 ; les sommes tendent donc vers T.