Sonsuz seriler

Sonsuz bir serinin $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ son terimi yoktur; bu nedenle n büyürken ilk n terimin toplamına, yani $S_n$ kısmi toplamına bakarız. $S_n$ bir S sayısına yaklaşırsa seri yakınsar ve S onun toplamıdır. Aksi hâlde ıraksar.

Grafik, $S_n$ değerini 1’den bir milyona uzanan logaritmik n eksenine göre çizer. Soldaki sayı doğrusu, her terimi $S_{k-1}$ noktasından $S_k$ noktasına bir yay olarak gösterir. Pozitif terimler hep aynı yöne giden yaylar, işareti değişen terimler ise ileri geri salınan yaylar oluşturur.

Terimlerin 0’a yaklaşması yakınsaklık için gereklidir, çünkü $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Ama yeterli değildir. $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ harmonik serisinin terimleri 0’a yaklaşırken kısmi toplamları sınırsız büyür. İntegralle karşılaştırma nedenini gösterir: [k, k + 1] aralığındaki 1/k yüksekliğindeki dikdörtgen, y = 1/x eğrisinin üstündedir; dolayısıyla $S_n > \ln(n+1)$. Büyüme öyle yavaştır ki bir milyon terim yalnızca yaklaşık 14,39 eder.

Aynı dikdörtgenler $\sum 1/k^p$ p-serisini de belirler: seri ancak ve ancak p > 1 ise yakınsar. p > 1 için ayrıca n terimden sonra kalan $R_n = S - S_n$ miktarını da sınırlarlar:

Böylece sayfa, limitin basit bir formülü olmasa bile onu kesinlikle içeren bir aralık verebilir. Ancak dar bir aralık, $S_n$ değerinin limite yakın olduğu anlamına gelmez. p = 1.1 için bir milyon terim bile limitin yaklaşık 2,5 gerisindedir. Yine de $S_n$ değerini iki integrale eklemek, limiti içeren küçücük bir aralık verir.

$r + r^2 + r^3 + \cdots$ geometrik serisinin kısmi toplamları kapalı bir formülle yazılabilir:

r = ½ için her terim kalan farkın yarısını kapatır; Kalan fark bunu çizer ve $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$ olur. r = 1’de kısmi toplamlar sınırsız büyür; r = −1’de ise sonsuza dek −1 ile 0 arasında gidip gelir.

Terimlerin işaretleri sırayla değişiyor ve mutlak değerleri azalarak 0’a yaklaşıyorsa seri yakınsar; toplamı her zaman komşu iki kısmi toplam arasındadır. Her aralık bir öncekinin içinde kalır, genişlikleri 0’a yaklaşır; böylece tek bir sayıya daralırlar. İç içe aralıklar bunları alt alta gösterir. Sayfada bu tür iki seri vardır: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ ve Leibniz’in $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$ serisi.

Alterne harmonik seri yalnızca koşullu yakınsar: işaretler kaldırıldığında $\sum 1/k$ ıraksar. Riemann yeniden sıralama teoremi, böyle bir serinin terimlerinin herhangi bir T sayısına yakınsayacak şekilde sıralanabileceğini söyler. Yeniden sıralanmış, her işaret grubundaki terimlerin özgün sırasını korur: toplam T’ye eşit veya küçükse sıradaki pozitif terimi, büyükse sıradaki negatif terimi ekler. Pozitif terimlerin toplamı tek başına +∞’ye, negatiflerinki −∞’ye gider; böylece her ekleme dizisi T’ye ulaşır veya onu aşar. Taşma miktarı, buna neden olan terimin mutlak değerini geçmez ve terimler 0’a yaklaşır; dolayısıyla toplamlar T’ye yaklaşır.