Toplam gösterimi

Toplam gösterimi, birçok terimin toplamını büyük Yunan harfi $\Sigma$ ile tek bir ifadede yazar. İndis $k$, $\Sigma$ altında yazılı alt sınır $m$ değerinden başlar ve birer artarak üstte yazılı üst sınır $n$ değerine gider. Aldığı her değer bir terim $a_k$ verir. Toplananlar indis değerleri değil, terimlerdir:

$m \le n$ olduğunda $n - m + 1$ terim vardır: iki sınır da dahildir. Bu, bazı programlama dillerinde $n$ değerinden önce duran range(m, n) ifadesinden farklıdır. Sınırlar herhangi bir tam sayı olabilir; aynı toplam $\sum_{m \le k \le n} a_k$ biçiminde de yazılır.

Burada her terim, indisinin üzerinde duran bir sütundur. Yanındaki birikimli toplam diyagramı, her terim için bir okla ardışık toplamları gösterir. Sınırları ve terimi seçebilir, bir terimin hangi indisten geldiğini ve o terime kadarki toplamı inceleyebilir ya da terimleri tek tek toplayarak her biri için bir işlem satırı tutabilirsiniz.

İndis yalnızca toplamın içinde anlam taşır. Adını her yerde, $\Sigma$ altında ve terimde değiştirin; hiçbir şey değişmez: $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Bu nedenle ona kukla değişken denir. Yalnızca bir yerde yeniden adlandırmak ifadeyi değiştirir: $\sum_{j=1}^{3} k^2$ ifadesinde terim $j$ değişkenine bağlı değildir, dolayısıyla toplam $3k^2$ olur. İndis, hangi terimlerin bulunduğunu belirtir; terimde hiç görünmesi bile gerekmez. $m \le n$ için, bir sabiti $k = m$ değerinden $n$ değerine toplamak, o sabiti $n - m + 1$ kez eklemektir: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Terimler varken ($m \le n$), bir sınırı bir birim değiştirmek toplamı o uçtaki tam bir terim kadar değiştirir; çünkü iki uç da dahildir. Üst sınırı artırmak sonraki terimi ekler, alt sınırı artırmak ilk terimi çıkarır.

Üst sınır alt sınırın altında olduğunda, $\sum_{k=5}^{4} a_k$ örneğinde olduğu gibi, indis hiçbir değer almaz ve terim yoktur. Yaygın kabule göre bu boş toplam 0’dır: toplam 0’dan başlar ve ona hiçbir şey eklenmez. Böylece bir sınırdan sonraki sınıra geçiş bağıntısı en başta da geçerlidir. $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$, $n = 1$ durumunda da sağlanır; burada sağdaki toplamın terimi yoktur. Hiç terimi olmayan toplam, terimlerin birbirini götürmesiyle aynı şey değildir: $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$ ifadesinde altı terimin hepsi vardır.