総和記号

総和記号は、ギリシャ文字の大文字$\Sigma$を使って、多くの項の和を1つの式で表します。添字$k$は、$\Sigma$の下に書かれた下限$m$から始まり、1ずつ増えて、上に書かれた上限$n$まで進みます。添字の各値が1つの項$a_k$を与えます。足すのは添字の値ではなく、各項です：

$m \le n$のとき、項は$n - m + 1$個です。上下限の両方を含みます。プログラミング言語によっては、range(m, n)は$n$の手前で止まりますが、それとは異なります。上下限には任意の整数を使え、同じ和を$\sum_{m \le k \le n} a_k$とも書きます。

ここでは各項を、添字の上に立つ棒で表します。隣の累計図は、1項につき1本の矢印で、順に変わる合計を示します。上下限と項を選び、ある項について添字とそこまでの累計を確かめたり、項を1つずつ加えて各項の計算を1行ずつ残したりできます。

添字が意味を持つのは、その和の中だけです。$\Sigma$の下と項の中で名前をすべて変えても、何も変わりません：$\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$。そこでダミー変数と呼ばれます。1か所だけ名前を変えると式が変わります。$\sum_{j=1}^{3} k^2$では項が$j$に依存しないため、和は$3k^2$です。添字の役割は、どの項を含めるかを指定することなので、項の中に現れる必要もありません。$m \le n$なら、定数を$k = m$から$n$まで足すことは、その定数を$n - m + 1$回足すことです：$\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$。

項がある場合（$m \le n$）、上限または下限を1動かすと、その端のちょうど1項分だけ和が変わります。両端が含まれるからです。上限を上げると次の項が加わり、下限を上げると最初の項が外れます。

$\sum_{k=5}^{4} a_k$のように上限が下限より小さいと、添字は値を1つも取らず、項がありません。通常の約束では、この空和は0です。合計は0から始まり、何も足されないからです。この約束により、上限や下限を1動かしたときの関係が最初から成り立ちます。$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$は$n = 1$でも成り立ち、そのとき右辺の和には項がありません。項のない和は、項どうしが打ち消し合う場合とは異なります。$\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$では6項すべてが存在します。