求和记号

求和记号用希腊大写字母$\Sigma$把很多项的和写成一个式子。指标$k$从写在$\Sigma$下面的下限$m$开始，一次加1，一直取到写在上面的上限$n$。指标每取一个值，得出一项$a_k$，再把这些项（不是指标的值）加起来：

$m \le n$时共有$n - m + 1$项：上下限两端都算在内，和有些编程语言里到$n$之前就停的range(m, n)不同。上下限可以是任意整数；同一个和也写成$\sum_{m \le k \le n} a_k$。

画面上每一项是立在它的指标上方的一根柱；柱旁边，累加和一项一根箭头，一路加到总和。可以设定上下限和每一项，看任意一项来自哪个指标、加到这一项时和是多少，也可以一项一项相加，每加一项留下一行算式。

指标只在这个和里面有意义。把它处处换名，$\Sigma$下面和项里一起换，意思不变：$\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$。所以它叫哑变量。只在一处换名，式子就变了：$\sum_{j=1}^{3} k^2$的项与$j$无关，和是$3k^2$。指标的用处是说明有哪几项，项里不出现它也可以：$m \le n$时，一个常数从$k = m$加到$n$，就是这个常数加$n - m + 1$次，$\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$。

有项的时候（$m \le n$），把一端移动1，和正好在那一端多一项或少一项，因为两端都算在内：上限加1加进下一项，下限加1去掉第一项。

上限比下限小，比如$\sum_{k=5}^{4} a_k$，指标一个值也取不到，一项也没有。按通常的约定，这样的空和等于0：和从0开始往上加，什么都没加就还是0。有了这个约定，从一个上限到下一个上限的关系在起点也成立：$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$在$n = 1$时成立，右边那个和一项也没有。没有项和各项互相抵消不是一回事：$\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$里六项都在。