Знак суммы

Знак суммы записывает сумму многих слагаемых одним выражением с помощью заглавной греческой буквы $\Sigma$. Индекс $k$ начинается с нижнего предела $m$, указанного под $\Sigma$, и увеличивается по одному до верхнего предела $n$, указанного сверху. Каждое его значение даёт слагаемое $a_k$. Складываются слагаемые, а не значения индекса:

При $m \le n$ число слагаемых равно $n - m + 1$: оба предела включены. Это отличается от range(m, n) в некоторых языках программирования, где перебор останавливается перед $n$. Пределы могут быть любыми целыми числами; ту же сумму записывают и как $\sum_{m \le k \le n} a_k$.

Здесь каждое слагаемое — столбец над его индексом. Рядом диаграмма накопленной суммы показывает последовательные итоги, по одной стрелке на слагаемое. Можно выбрать пределы и слагаемое, рассмотреть отдельный член с его индексом и суммой до него или складывать по очереди, сохраняя для каждого слагаемого строку вычисления.

Индекс имеет смысл лишь внутри суммы. Переименуйте его всюду, под $\Sigma$ и в слагаемом, и ничего не изменится: $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Поэтому его называют связанной переменной. Если переименовать только в одном месте, выражение изменится: в $\sum_{j=1}^{3} k^2$ слагаемое не зависит от $j$, поэтому сумма равна $3k^2$. Индекс указывает, какие слагаемые входят в сумму, и потому не обязан встречаться в самом слагаемом. При $m \le n$ суммировать постоянную величину от $k = m$ до $n$ — значит сложить её $n - m + 1$ раз: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Когда слагаемые есть ($m \le n$), сдвиг одного предела на единицу меняет сумму ровно на одно слагаемое с этого конца, поскольку оба конца включены. Увеличение верхнего предела добавляет следующее слагаемое, увеличение нижнего убирает первое.

Если верхний предел меньше нижнего, как в $\sum_{k=5}^{4} a_k$, индекс не принимает ни одного значения и слагаемых нет. По обычному соглашению эта пустая сумма равна 0: итог начинается с 0, и к нему ничего не добавляют. Соглашение сохраняет переход от одного предела к следующему уже в самом начале: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$ верно при $n = 1$, когда сумма справа не содержит слагаемых. Отсутствие слагаемых отличается от их взаимного уничтожения: в $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$ все шесть слагаемых присутствуют.