Среднее и медиана

Каждое значение — тёмная точка на числовой прямой; одинаковые значения располагаются друг над другом. Жёлтый треугольник под прямой — среднее $\bar{x}$, штриховая линия — медиана $M$. При перемещении значения бледные метки сохраняют прежние положения. Если появляется стрелка, она показывает, насколько сдвинулось среднее.

Что уравновешивает среднее? Расстояния. Сумма расстояний от него до значений слева в точности равна сумме расстояний до значений справа. Поэтому треугольник работает как опора качелей. Передвиньте одно значение на $\Delta$: сумма изменится на $\Delta$, а среднее — на $\Delta/n$. Если среди девяти значений перетащить 7 в 50, среднее сдвинется на $43/9 \approx 4.78$. Как бы далеко ни ушло значение, среднее следует за ним.

Что уравновешивает медиана? Количество. В упорядоченном наборе это центральное значение, а при чётном $n$ — середина между двумя центральными. Поэтому меньше медианы находится не более половины значений, и больше неё — тоже не более половины. Пока центральное значение или два центральных значения остаются прежними, медиана не движется, как бы далеко ни отодвинули крайнее значение. Но если перетащить значение через середину, медиана может сдвинуться вместе с ним. Чтобы поднять её выше всех исходных значений, центральное значение (при чётном $n$ — большее из двух центральных) и все значения выше него должны быть изменёнными значениями, превышающими прежний максимум. При фиксированном $n$ для этого нужно не менее $\lceil n/2 \rceil$ изменений; для девяти значений — пять.

Почему и то и другое называют центром? Включите «Выбрать центр» и выберите точку $c$. Нижний график показывает два средних расстояния от $c$ до значений. Сплошная линия — среднеквадратическое расстояние, то есть корень из среднего квадрата расстояний; для него выполняется $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$. Оно минимально в среднем и там равно стандартному отклонению $\sigma$ (дисперсия вычислена со знаменателем $n$). Штриховая линия — среднее абсолютное расстояние; она состоит из прямолинейных отрезков. Между двумя значениями её наклон равен $(L - R)/n$, где $L$ значений лежат слева от $c$, а $R$ — справа: шаг вправо отдаляет от $L$ значений и приближает к $R$. Минимум достигается везде, где ни с одной стороны нет больше половины значений; медиана всегда входит в число таких точек. Когда $n$ чётно, а два центральных значения различаются, между ними образуется плоский участок, и медиана лежит в его середине.