Media e mediana

Ogni valore è un punto nero su una retta numerica; i valori uguali si impilano. Il triangolo giallo sotto la retta è la media $\bar{x}$, la linea tratteggiata è la mediana $M$. Quando sposti un valore, segni sbiaditi conservano le posizioni precedenti. Se compare una freccia, mostra di quanto si è spostata la media.

Che cosa bilancia la media? Le distanze. I valori a sinistra distano da essa, in totale, esattamente quanto quelli a destra: il triangolo funziona quindi come il fulcro di un’altalena. Sposta un valore di $\Delta$ e la somma cambia di $\Delta$, quindi la media si sposta di $\Delta/n$. Tra nove valori, trascinare 7 fino a 50 sposta la media di $43/9 \approx 4.78$. Per quanto lontano vada un valore, la media lo segue.

Che cosa bilancia la mediana? I conteggi. Ordinati i valori, è quello centrale, o il punto medio dei due centrali se $n$ è pari. Al massimo metà dei valori sta sotto e al massimo metà sopra. Finché il valore centrale, o i due centrali, resta invariato, la mediana non si muove, per quanto lontano venga trascinato un valore esterno. Se un valore attraversa il centro, però, la mediana può seguirlo. Per portarla sopra tutti i valori originali, il valore centrale — il maggiore dei due centrali per $n$ pari — e tutti quelli sopra devono essere valori modificati oltre il vecchio massimo. Con $n$ fisso servono almeno $\lceil n/2 \rceil$ modifiche: cinque su nove valori.

Perché entrambi si chiamano centri? Attiva Prova un centro e scegli un punto $c$. Il grafico inferiore mostra due distanze medie da $c$ ai valori. La curva continua, la distanza quadratica media, cioè la radice quadrata della media dei quadrati delle distanze, soddisfa $\mathrm{RMS}(c)^2 = \sigma^2 + (c - \bar{x})^2$: è minima alla media, dove vale la deviazione standard $\sigma$, calcolando la varianza con denominatore $n$. La curva tratteggiata, la distanza assoluta media, è fatta di segmenti. Tra due valori la sua pendenza è $(L - R)/n$: ci sono $L$ valori a sinistra di $c$ e $R$ a destra. Un passo a destra allontana dai $L$ valori a sinistra e avvicina ai $R$ a destra. È minima ovunque nessun lato contenga più della metà dei valori; la mediana è sempre una di queste posizioni. Se $n$ è pari e i due valori centrali sono diversi, il fondo tra loro è piatto e la mediana ne è il punto medio.