Densità di probabilità

Una densità di probabilità $f$ descrive una variabile aleatoria continua $X$ attraverso le aree: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$, con $f \ge 0$ e area totale pari a 1. Qui la retta è suddivisa in classi di ampiezza $w$; ogni barra rappresenta la probabilità esatta di una classe, direttamente oppure divisa per $w$, sovrapposta a $f$. Sotto si trova la funzione di ripartizione $F$. Quando le barre rappresentano densità, dimezzare $w$ le avvicina a $f$. Puoi provare cinque distribuzioni, una delle quali disegnata a mano.

Che cosa misura l’altezza $f(x)$? Probabilità per unità di lunghezza, non probabilità. La probabilità di una classe divisa per la sua ampiezza è il valore medio di $f$ su quella classe. Quindi, se $f$ è continua in $x$, la barra attorno a $x$ tende a $f(x)$ quando $w$ diminuisce, e per un intervallo breve vale $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$. Ecco perché una densità può superare 1, mentre una probabilità no: la probabilità è l’area, e una regione alta ma stretta può avere un’area piccola. Un singolo punto è un intervallo di ampiezza 0, perciò $P(X = x) = 0$ qualunque sia $f(x)$. Per una variabile di questo tipo, $\le$ e $<$ danno le stesse probabilità.

Come si collegano la densità e la funzione di ripartizione? $F(x) = P(X \le x)$ è l’area sotto $f$ a sinistra di $x$: l’area su $[a, b]$ nel grafico superiore corrisponde quindi all’incremento $F(b) - F(a)$ in quello inferiore. La probabilità di una classe è l’incremento di $F$ su quella classe. Dividendo per $w$, l’altezza della barra diventa la pendenza della secante di $F$ sulla classe. Quando $w$ diminuisce, la secante si avvicina alla tangente: dove $f$ è continua, $F'(x) = f(x)$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale. Dove $f$ ha un salto, come agli estremi dell’uniforme, $F$ ha un punto angoloso, e le sue pendenze da sinistra e da destra sono i valori di $f$ sui due lati. Modificare $f$ in un solo punto non cambia alcuna area e quindi nemmeno alcuna probabilità.

Perché si dividono le altezze di un istogramma per l’ampiezza delle classi prima di confrontarlo con una densità? Senza questa divisione le barre rappresentano probabilità e tendono a 0 quando le classi si restringono, non a $f$. Dopo la divisione per $w$, le barre lungo tutta la retta hanno area totale 1, qualunque sia l’ampiezza. Così si possono confrontare istogrammi con classi diverse e sovrapporli a $f$. Un istogramma di dati funziona allo stesso modo, sostituendo la probabilità esatta di ogni classe con la frazione del campione che vi ricade.