Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Olasılık yoğunluk fonksiyonu $f$, sürekli rastgele değişken $X$'i alanlarla betimler: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$; burada $f \ge 0$ ve toplam alan 1'dir. Bu görselde sayı doğrusu $w$ genişliğinde sınıflara ayrılır. $f$ üzerine çizilen her sütun, sınıfın kesin olasılığını doğrudan veya $w$ ile bölünmüş olarak gösterir; altta birikimli dağılım fonksiyonu $F$ bulunur. Sütunlar yoğunluğu gösterirken $w$ değerini yarıya indirmek, onları $f$ eğrisine yaklaştırır. Biri elle çizilen olmak üzere beş dağılımı deneyebilirsiniz.

$f(x)$ yüksekliği neyi ölçer? Olasılığı değil, birim uzunluk başına olasılığı. Bir sınıfın olasılığının genişliğine bölümü, $f$ fonksiyonunun o sınıftaki ortalama değeridir. Dolayısıyla $f$, $x$ noktasında sürekliyse $w$ küçüldükçe $x$ noktasını içeren sütunun yüksekliği $f(x)$ değerine yaklaşır; kısa bir aralık için de $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$ olur. Bu yüzden yoğunluk 1'i aşabilirken olasılık aşamaz: olasılık alandır ve yüksek ama dar bir bölgenin alanı küçük olabilir. Tek bir nokta, genişliği 0 olan bir aralıktır. Bu nedenle $f(x)$ ne olursa olsun $P(X = x) = 0$ olur; böyle bir değişken için $\le$ ve $<$ aynı olasılıkları verir.

Yoğunluk ile birikimli dağılım fonksiyonu nasıl bağlantılıdır? $F(x) = P(X \le x)$, $x$ noktasının solunda $f$ eğrisinin altında kalan alandır. Bu yüzden üstte $[a, b]$ aralığı üzerindeki alan, alttaki $F(b) - F(a)$ artışına eşittir. Bir sınıfın olasılığı, $F$ fonksiyonunun o sınıf boyunca artışıdır; dolayısıyla $w$ ile bölündüğünde sütun yüksekliği, $F$ fonksiyonunun bu sınıftaki kesen eğimi olur. $w$ küçüldükçe kesen teğete yaklaşır: $f$ fonksiyonunun sürekli olduğu yerlerde $F'(x) = f(x)$ geçerlidir; bu, kalkülüsün temel teoremidir. Düzgün yoğunluğun uçlarında olduğu gibi $f$ sıçrama yaptığında, $F$ bir köşe oluşturur. Soldan ve sağdan eğimleri, $f$ fonksiyonunun iki yandaki değerleridir. $f$ fonksiyonunu tek bir noktada değiştirmek hiçbir alanı, dolayısıyla hiçbir olasılığı değiştirmez.

Bir histogramı yoğunlukla karşılaştırmadan önce sütun yükseklikleri neden sınıf genişliğine bölünür? Bölme yapılmazsa sütunlar olasılıkları gösterir ve sınıflar daraldıkça $f$ yerine 0'a yaklaşır. $w$ ile bölündüklerinde, genişlik ne olursa olsun tüm sayı doğrusu üzerindeki sütunların toplam alanı 1 olur. Böylece farklı sınıflara sahip histogramlar karşılaştırılabilir ve $f$ üzerine yerleştirilebilir. Verilerden oluşturulan histogram da aynı şekilde çalışır; kesin sınıf olasılığı yerine örneklemin o sınıfa düşen oranı kullanılır.