Función de densidad de probabilidad

Una función de densidad de probabilidad $f$ describe una variable aleatoria continua $X$ mediante áreas: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$, con $f \ge 0$ y un área total de 1. Aquí se divide la recta en clases de anchura $w$. Cada barra representa la probabilidad exacta de una clase, directamente o dividida por $w$, y se dibuja sobre $f$; debajo está la función de distribución acumulada $F$. Cuando las barras representan densidades, dividir $w$ por dos las acerca a $f$. Hay cinco distribuciones para explorar, una de ellas dibujada a mano.

¿Qué mide la altura $f(x)$? Probabilidad por unidad de longitud, no probabilidad. La probabilidad de una clase dividida por su anchura es el valor medio de $f$ en esa clase. Por eso, si $f$ es continua en $x$, la barra que contiene a $x$ tiende a $f(x)$ al disminuir $w$, y para un intervalo corto se cumple $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$. Así, una densidad puede superar 1 aunque una probabilidad no pueda: la probabilidad es el área, y una región alta pero estrecha puede tener poca área. Un solo punto es un intervalo de anchura 0, de modo que $P(X = x) = 0$ sea cual sea $f(x)$. Para una variable así, $\le$ y $<$ dan las mismas probabilidades.

¿Cómo se relacionan la densidad y la función de distribución acumulada? $F(x) = P(X \le x)$ es el área bajo $f$ a la izquierda de $x$, por lo que el área sobre $[a, b]$ en el gráfico superior es el aumento $F(b) - F(a)$ en el inferior. La probabilidad de una clase es el aumento de $F$ a lo largo de ella; por tanto, al dividir por $w$, la altura de la barra es la pendiente de la secante de $F$ en esa clase. Al disminuir $w$, la secante se acerca a la tangente: donde $f$ es continua, $F'(x) = f(x)$, como establece el teorema fundamental del cálculo. Donde $f$ tiene un salto, como en los extremos de la uniforme, $F$ tiene un punto anguloso, y sus pendientes por ambos lados son los valores de $f$ a cada lado. Cambiar $f$ en un solo punto no cambia ninguna área ni, por tanto, ninguna probabilidad.

¿Por qué se dividen las alturas de un histograma por la anchura de clase antes de compararlo con una densidad? Sin esa división, las barras son probabilidades y tienden a 0 cuando se estrechan las clases, no a $f$. Al dividir por $w$, las barras en toda la recta tienen un área total de 1, sea cual sea su anchura. Así se pueden comparar histogramas con distintas clases y superponerlos a $f$. Un histograma de datos funciona igual, sustituyendo la probabilidad exacta de cada clase por la proporción de la muestra que contiene.