Distribución normal

Una variable aleatoria $X$ con distribución normal $N(\mu, \sigma^2)$ tiene una densidad en forma de campana: la media $\mu$ está en el pico y la desviación típica $\sigma$ determina la anchura. La probabilidad de que $X$ caiga entre dos valores es el área bajo la curva entre ellos. Aquí hay dos reglas bajo la curva: $x$ para los valores y $z$ para las unidades estándar. Puedes mover $\mu$ y $\sigma$, situar los cortes en $a$ y $b$ y elegir qué regla permanece fija en la pantalla.

¿Por qué toda curva normal es la misma curva? Fija la regla $z$ y cambia $\mu$ o $\sigma$: la curva en pantalla no se mueve. Es la regla $x$ la que se desliza y estira debajo, mientras cambian los números de la escala de densidad. Los cortes son valores de $x$, así que acompañan a esa regla; el área coloreada solo cambia cuando sus posiciones en la regla $z$ cambian. Toda distribución normal es la normal estándar $N(0, 1)$ leída con otra regla, de modo que $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$, donde $\Phi(z)$ es el área a la izquierda de $z$ bajo la curva estándar.

¿Dónde se ve $\sigma$ en la curva? En los puntos de inflexión. En la escala habitual, la curva se dobla hacia abajo entre $\mu - \sigma$ y $\mu + \sigma$, y hacia arriba fuera de ese intervalo. En ambos puntos de inflexión, la tangente atraviesa la curva. Como la forma nunca cambia, el área a menos de $k$ desviaciones típicas de la media no depende de $\mu$ ni de $\sigma$: aproximadamente el 68.27% dentro de una, el 95.45% dentro de dos y el 99.73% dentro de tres.

¿Por qué una curva más estrecha es más alta? El área total siempre es 1. Construcción muestra los dos pasos desde la curva estándar: al desplazarla hasta $\mu$ y estirarla horizontalmente por un factor $\sigma$, el área bajo la curva pasa a ser $\sigma$; al dividir su altura por $\sigma$, vuelve a ser 1. Por eso el pico es $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$, y reducir $\sigma$ a la mitad duplica su altura. La altura es una densidad, probabilidad por unidad de $x$; solo las áreas son probabilidades.

¿Qué tan finas son las colas? En la escala habitual, la curva parece tocar el eje hacia $3\sigma$, pero nunca llega a cero. En la escala logarítmica, $\log f$ es una función cuadrática de $x$: la curva se convierte en una parábola abierta hacia abajo y las colas descienden cada vez más deprisa. Las dos colas juntas contienen aproximadamente el 0.270% de la probabilidad más allá de $3\sigma$, aproximadamente 1 entre 15 800 más allá de $4\sigma$ y 1 entre 507 millones más allá de $6\sigma$. En una escala logarítmica, el área bajo la curva ya no representa la probabilidad, por lo que la región solo se marca en la regla $x$.