Distribusi normal

Peubah acak $X$ dengan distribusi normal $N(\mu, \sigma^2)$ memiliki kepadatan berbentuk lonceng: rata-rata $\mu$ berada di puncak dan simpangan baku $\sigma$ menentukan lebarnya. Peluang bahwa $X$ berada di antara dua nilai adalah luas di bawah kurva di antara keduanya. Di sini kurva berada di atas dua penggaris: $x$ untuk nilai dan $z$ untuk satuan baku. Anda dapat memindahkan $\mu$ dan $\sigma$, meletakkan batas di $a$ dan $b$, serta memilih penggaris mana yang tetap pada layar.

Mengapa setiap kurva normal adalah kurva yang sama? Kunci penggaris $z$ lalu ubah $\mu$ atau $\sigma$: kurva pada layar tetap diam. Sebaliknya, penggaris $x$ bergeser dan meregang di bawahnya, sementara angka pada skala kepadatan berubah. Batas-batasnya adalah nilai $x$, sehingga ikut bergerak bersama penggaris itu. Luas berwarna hanya berubah jika posisi batas pada penggaris $z$ berubah. Setiap distribusi normal adalah normal baku $N(0, 1)$ yang dibaca dengan penggaris lain, sehingga $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$, dengan $\Phi(z)$ merupakan luas di sebelah kiri $z$ di bawah kurva baku.

Di mana $\sigma$ tampak pada kurva? Di titik belok. Pada skala biasa, kurva cekung ke bawah di antara $\mu - \sigma$ dan $\mu + \sigma$, lalu cekung ke atas di luarnya. Pada kedua titik belok ini, garis singgung melintasi kurva. Karena bentuknya tidak berubah, luas dalam jarak $k$ simpangan baku dari rata-rata tidak bergantung pada $\mu$ maupun $\sigma$: sekitar 68.27% dalam satu, 95.45% dalam dua, dan 99.73% dalam tiga simpangan baku.

Mengapa kurva yang lebih sempit lebih tinggi? Luas keseluruhannya selalu 1. Cara membentuknya menunjukkan dua langkah dari kurva baku: setelah digeser ke $\mu$ dan diregangkan mendatar dengan faktor $\sigma$, luas di bawah kurva menjadi $\sigma$; setelah tingginya dibagi $\sigma$, luasnya kembali menjadi 1. Jadi tinggi puncak adalah $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$, dan memperkecil $\sigma$ menjadi separuh menggandakan tinggi puncak. Tinggi adalah kepadatan, yaitu peluang per satuan $x$; hanya luas yang merupakan peluang.

Seberapa tipis ekornya? Pada skala biasa, kurva tampak menyentuh sumbu di sekitar $3\sigma$, tetapi tidak pernah mencapai nol. Pada skala logaritmik, $\log f$ merupakan fungsi kuadrat dari $x$, sehingga kurva menjadi parabola yang membuka ke bawah dan ekornya turun makin cepat. Kedua ekor jika digabungkan memuat sekitar 0.270% peluang di luar $3\sigma$, sekitar 1 dari 15 800 di luar $4\sigma$, dan sekitar 1 dari 507 juta di luar $6\sigma$. Pada skala logaritmik, luas di bawah kurva bukan lagi peluang, sehingga wilayahnya hanya ditandai pada penggaris $x$.