Distribuição normal

Uma variável aleatória $X$ com distribuição normal $N(\mu, \sigma^2)$ tem uma densidade em forma de sino: a média $\mu$ está no pico e o desvio-padrão $\sigma$ define a largura. A probabilidade de $X$ ficar entre dois valores é a área sob a curva entre eles. Aqui, a curva assenta sobre duas réguas: $x$ para os valores e $z$ para as unidades padrão. Pode mover $\mu$ e $\sigma$, colocar cortes em $a$ e $b$ e escolher qual das réguas fica fixa no ecrã.

Porque é que todas as curvas normais são a mesma curva? Fixe a régua $z$ e altere $\mu$ ou $\sigma$: a curva no ecrã não se mexe. É a régua $x$ que desliza e se estica por baixo, enquanto os números na escala da densidade mudam. Os cortes são valores de $x$, pelo que acompanham essa régua; a área colorida só muda quando as posições dos cortes na régua $z$ mudam. Toda a distribuição normal é a normal padrão $N(0, 1)$ lida noutra régua. Assim, $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$, em que $\Phi(z)$ é a área à esquerda de $z$ sob a curva padrão.

Onde se vê $\sigma$ na curva? Nos pontos de inflexão. Na escala habitual, a curva tem concavidade voltada para baixo entre $\mu - \sigma$ e $\mu + \sigma$ e para cima fora desse intervalo. Nestes dois pontos de inflexão, a tangente atravessa a curva. Como a forma nunca muda, a área até $k$ desvios-padrão da média não depende de $\mu$ nem de $\sigma$: cerca de 68.27% até um, 95.45% até dois e 99.73% até três.

Porque é mais alta uma curva mais estreita? A área total é sempre 1. Construção mostra os dois passos a partir da curva padrão: deslocada para $\mu$ e esticada horizontalmente por um fator $\sigma$, a curva delimita uma área de $\sigma$; dividindo a altura por $\sigma$, a área volta a 1. Por isso, o pico é $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$, e reduzir $\sigma$ para metade duplica a altura. A altura é uma densidade, uma probabilidade por unidade de $x$; só as áreas são probabilidades.

Quão finas são as caudas? Na escala habitual, a curva parece tocar no eixo por volta de $3\sigma$, mas nunca chega a zero. Na escala logarítmica, $\log f$ é uma função quadrática de $x$: a curva torna-se uma parábola com concavidade voltada para baixo e as caudas descem cada vez mais depressa. As duas caudas em conjunto contêm cerca de 0.270% da probabilidade além de $3\sigma$, cerca de 1 em 15 800 além de $4\sigma$ e cerca de 1 em 507 milhões além de $6\sigma$. Numa escala logarítmica, a área sob a curva já não representa a probabilidade; por isso, a região só é marcada na régua $x$.