Desvio-padrão

O desvio-padrão indica a que distância os valores de um conjunto de dados se encontram tipicamente da sua média $\bar{x}$. Eleva-se ao quadrado o desvio de cada valor, $x_i - \bar{x}$, calcula-se a média desses quadrados e toma-se a raiz quadrada dessa média: $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Aqui, cada desvio ao quadrado é um quadrado pendurado sob a reta numérica. A média das áreas é o quadrado vazio acima dela: o seu lado é σ, uma distância nas mesmas unidades dos dados. Pode mover valores individuais ou deslocar e esticar todo o conjunto, observando quais os quadrados que mudam.

Os desvios somam sempre zero, porque a média é o seu ponto de equilíbrio. A sua média simples não diz, por isso, nada sobre a dispersão. Elevar ao quadrado faz contar todos os desvios, de ambos os lados, e dá muito mais peso aos valores distantes: um valor ao dobro da distância da média acrescenta quatro vezes mais área. Assim, um único valor distante pode aumentar muito o desvio-padrão. É também por isso que σ nunca é menor do que a distância média, a média de $|x_i - \bar{x}|$; só são iguais quando todos os valores estão à mesma distância da média.

A raiz quadrada final transforma uma área média numa distância. O quadrado médio, σ², é a variância, medida em unidades ao quadrado.

Somar o mesmo número a todos os valores desloca a média por esse número e deixa inalterados os desvios, os quadrados e σ. Multiplicar cada distância à média por $k$ multiplica cada área por $k^2$ e σ por $|k|$. Em geral, os valores $a + bx_i$ têm desvio-padrão $|b|\,\sigma$. Deslocar a média para 0 e ajustar σ para 1 reescreve cada valor em unidades padronizadas: $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

Dividir por $n$ dá o desvio-padrão dos próprios valores, representado por σ quando constituem toda uma população. Muitas vezes, os valores são uma amostra aleatória e pretende-se conhecer a dispersão da população de origem. Medidos a partir da média da própria amostra, que está mais próxima dos seus valores do que a média populacional, os desvios ao quadrado são, em média, demasiado pequenos. Dividir por $n - 1$ elimina esse enviesamento da variância: $s^2$ é um estimador não enviesado da variância populacional e a sua raiz quadrada $s$ é o desvio-padrão amostral. A área do quadrado vazio é então a soma dos quadrados dividida por $n - 1$, um pouco mais do que a média. A diferença só é grande em amostras pequenas: com dois valores, $s$ é $\sqrt{2}$ vezes σ.