Écart-type

L’écart-type indique à quelle distance les valeurs d’un jeu de données se trouvent typiquement de leur moyenne $\bar{x}$. On élève chaque écart $x_i - \bar{x}$ au carré, on calcule la moyenne de ces carrés, puis sa racine carrée : $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Ici, chaque écart au carré est représenté par un carré suspendu sous la droite graduée. La moyenne de leurs aires est représentée par le carré vide au-dessus : son côté vaut σ, une longueur exprimée dans la même unité que les données. Vous pouvez déplacer une seule valeur, ou translater et étirer tout le jeu de données, et observer les carrés qui changent.

La somme des écarts vaut toujours zéro, car la moyenne est leur point d’équilibre : leur moyenne simple ne renseigne donc pas sur la dispersion. Le carré fait compter chaque écart, de part et d’autre, et donne beaucoup plus de poids aux valeurs éloignées : une valeur deux fois plus loin de la moyenne apporte quatre fois plus d’aire. Une seule valeur éloignée peut ainsi augmenter fortement l’écart-type. C’est aussi pourquoi σ n’est jamais inférieur à la distance moyenne, c’est-à-dire la moyenne de $|x_i - \bar{x}|$ ; ils ne sont égaux que si toutes les valeurs sont à la même distance de la moyenne.

La racine carrée finale transforme une aire moyenne en longueur. Le carré moyen lui-même, σ², est la variance, exprimée dans l’unité au carré.

Ajouter le même nombre à chaque valeur déplace la moyenne de ce nombre, sans changer les écarts, les carrés ni σ. Multiplier chaque distance à la moyenne par $k$ multiplie chaque aire par $k^2$ et σ par $|k|$. Plus généralement, les valeurs $a + bx_i$ ont pour écart-type $|b|\,\sigma$. Ramener la moyenne à 0 et σ à 1 réécrit chaque valeur en unités standard : $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

Diviser par $n$ donne l’écart-type des valeurs elles-mêmes, noté σ lorsqu’elles constituent toute une population. Souvent, les valeurs forment un échantillon aléatoire et l’on souhaite connaître la dispersion de la population dont il provient. Mesurés à partir de la moyenne de l’échantillon, qui est plus proche de ses valeurs que la moyenne de la population, les écarts au carré sont trop petits en moyenne. Diviser par $n - 1$ corrige ce biais de la variance : $s^2$ est un estimateur sans biais de la variance de la population, et sa racine carrée $s$ est l’écart-type d’échantillon. Le carré vide a alors pour aire la somme des carrés divisée par $n - 1$, un peu plus que leur moyenne. La différence n’est importante que pour les petits échantillons : avec deux valeurs, $s$ vaut $\sqrt{2}$ fois σ.