Desviación estándar

La desviación estándar indica a qué distancia suelen estar los valores de un conjunto de datos respecto a su media $\bar{x}$. Se eleva al cuadrado la desviación de cada valor, $x_i - \bar{x}$, se promedian los cuadrados y se toma la raíz cuadrada de ese promedio: $\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Aquí cada desviación al cuadrado es un cuadrado que cuelga bajo la recta numérica. El promedio de sus áreas es el cuadrado hueco de arriba: su lado es σ, una longitud en las mismas unidades que los datos. Puedes mover valores individuales o desplazar y estirar todo el conjunto y observar qué cuadrados cambian.

Las desviaciones siempre suman cero, porque la media es su punto de equilibrio, así que su promedio simple no dice nada sobre la dispersión. Elevar al cuadrado hace que todas cuenten, a ambos lados, y da mucho más peso a los valores lejanos: un valor al doble de distancia de la media aporta cuatro veces más área. Por eso un solo valor lejano puede aumentar mucho la desviación estándar. También explica por qué σ nunca es menor que la distancia media, el promedio de $|x_i - \bar{x}|$; solo son iguales cuando todos los valores están a la misma distancia de la media.

La raíz cuadrada final convierte un área media en una longitud. El cuadrado medio, σ², es la varianza, medida en unidades al cuadrado.

Sumar el mismo número a todos los valores desplaza la media en esa cantidad y deja intactas las desviaciones, los cuadrados y σ. Multiplicar cada distancia a la media por $k$ multiplica cada área por $k^2$ y σ por $|k|$. En general, los valores $a + bx_i$ tienen desviación estándar $|b|\,\sigma$. Llevar la media a 0 y ajustar σ a 1 reescribe cada valor en unidades estándar: $z = (x - \bar{x})/\sigma$.

Dividir entre $n$ da la desviación estándar de los propios valores, escrita σ cuando forman toda una población. A menudo los valores son una muestra aleatoria y se quiere conocer la dispersión de la población de origen. Al medir respecto a la media de la propia muestra, que está más cerca de sus valores que la media poblacional, las desviaciones al cuadrado resultan demasiado pequeñas en promedio. Dividir entre $n - 1$ elimina ese sesgo de la varianza: $s^2$ es un estimador insesgado de la varianza poblacional y su raíz cuadrada $s$ es la desviación estándar muestral. Entonces el área del cuadrado hueco es la suma de los cuadrados dividida entre $n - 1$, algo mayor que su promedio. La diferencia solo es grande en muestras pequeñas: con dos valores, $s$ es $\sqrt{2}$ veces σ.