Correlación

El coeficiente de correlación $r$ de datos emparejados, también llamado coeficiente de Pearson, mide hasta qué punto los puntos siguen una misma recta. Va de −1 a 1 y es positivo cuando $x$ y $y$ tienden a aumentar juntos. Aquí, cada punto y el centro de los datos delimitan un rectángulo con lados medidos en desviaciones típicas; $r$ es la suma de sus áreas con signo dividida por $n-1$. Puedes arrastrar, añadir y eliminar puntos, cargar los cuatro conjuntos de Anscombe o una nube construida con un $r$ elegido, y ver los cuadrados que mantienen $r$ entre −1 y 1.

¿Qué mide $r$? En unidades estándar, $z_x$ indica cuántas desviaciones típicas a la derecha de la media de $x$ está un punto; $z_y$ indica cuántas por encima de la media de $y$. El rectángulo entre el punto y el centro tiene área $|z_x z_y|$. Cuenta como positiva arriba a la derecha y abajo a la izquierda, donde ambas coordenadas están al mismo lado de sus respectivas medias, y como negativa en las otras dos esquinas. Como los lados se miden en desviaciones típicas, cambiar de unidades o intercambiar $x$ y $y$ deja $r$ sin cambios. El gráfico sigue la misma regla: una desviación típica tiene la misma longitud en ambos ejes, así que el recuadro discontinuo es un cuadrado y su cuarto superior derecho es una unidad de área.

¿Por qué $r$ nunca puede salir de ±1? Traza la recta $z_y = z_x$ por el centro. El cuadrado de la distancia de un punto a ella es $(z_y - z_x)^2/2$. La suma de estos cuadrados dividida por $n-1$ da exactamente $1 - r$, porque los $z_x^2$ y los $z_y^2$ suman, cada uno, $n-1$. Para la otra diagonal, $z_y = -z_x$, el mismo cálculo da $1 + r$. Los cuadrados nunca son negativos, de modo que $-1 \le r \le 1$. Y $r = 1$ solo cuando todos los cuadrados de las distancias a $z_y = z_x$ se anulan: todos los puntos están en una misma recta ascendente.

¿Por qué imágenes muy distintas pueden dar el mismo $r$? $r$ suma rectángulos sin mirar la forma. En 1973, el estadístico Francis Anscombe construyó cuatro conjuntos con valores de $r$, medias y rectas ajustadas casi iguales: uno es una banda recta, otro una curva suave, otro sigue casi una recta salvo por un valor atípico y en el último un solo punto aporta la mayor parte de la suma con signo. Un rectángulo crece con el producto de las dos distancias del punto al centro; por eso, un punto lejano puede aportar la mayor parte del área total. Incluso puntos exactamente sobre una parábola pueden tener $r = 0$ si están colocados simétricamente: cada rectángulo de un lado se cancela con su reflejo del otro. $r$ solo mide la asociación lineal.

¿Por qué verlo en unidades estándar? El ojo juzga la correlación por lo delgada que parece la nube, y eso depende de los ejes: estirar uno hace que los mismos puntos parezcan más alargados o más redondos. En experimentos de Cleveland, Diaconis y McGill (1982), las personas juzgaron más fuerte la correlación de los mismos diagramas al ampliar los rangos de los ejes a su alrededor. Las unidades estándar hacen comparables ambos ejes: una desviación típica tiene la misma longitud en los dos. En esa imagen, la dispersión perpendicular a las dos diagonales es precisamente lo que mide $r$. Eso no vuelve fiable al ojo: al alejar la vista, la misma nube sigue pareciendo más compacta.