相關性

成對資料的相關係數$r$，又稱皮爾森相關係數，衡量各點貼近同一條直線的程度。它介於−1與1之間；當$x$與$y$傾向一起增加時為正。本頁以每個點和資料中心圍成矩形，邊長以標準差為單位，$r$就是這些帶符號面積的總和除以$n-1$。你可以拖曳、新增、刪除點，載入安斯康姆的四組資料或依指定$r$產生的點雲，也能看見將$r$限制在−1與1之間的正方形。

$r$衡量的是什麼？換成標準單位後，$z_x$表示一個點位於$x$的平均數右方幾個標準差，$z_y$表示它位於$y$的平均數上方幾個標準差。點與中心圍成的矩形面積為$|z_x z_y|$；在右上與左下，兩個座標位於各自平均數的同一側，算正；在另外兩個角落算負。由於邊長以標準差計算，改變單位或交換$x$與$y$都不會改變$r$。圖形也採用相同方式：兩軸上一個標準差的長度相等，因此虛線框是正方形，其右上四分之一的面積就是1。

為什麼$r$不會超出±1？畫出通過中心的直線$z_y = z_x$。一個點到此線的距離平方為$(z_y - z_x)^2/2$，把這些平方加總再除以$n-1$，恰好得到$1 - r$，因為$z_x^2$與$z_y^2$各自的總和都是$n-1$。改用另一條對角線$z_y = -z_x$，以相同方式計算便得到$1 + r$。平方不可能為負，因此$-1 \le r \le 1$；而$r = 1$只在所有點到$z_y = z_x$的距離平方都為0時成立，也就是所有點都落在同一條上升直線上。

為什麼完全不同的圖形會有相同的$r$？$r$只把矩形面積加總，不看形狀。統計學家Francis Anscombe在1973年建立四組資料，$r$、平均數與擬合直線都幾乎相同：一組是直線狀的帶，一組是平滑曲線，一組除了一個離群值以外幾乎共線，最後一組則由單一點貢獻大部分帶符號總和。矩形面積隨點到中心的兩個方向距離之乘積增加，因此一個遠點就能占去大部分總面積。即使點全都落在拋物線上，只要左右對稱排列，也可能有$r = 0$：一側每個矩形都被另一側的鏡像抵消。$r$只衡量線性關聯。

為什麼要用標準單位看？眼睛會依點雲看起來多細長來判斷相關性，而這取決於座標軸：拉長其中一軸，同樣的點就會顯得更細長或更圓。在Cleveland、Diaconis與McGill於1982年的實驗中，當周圍的座標範圍擴大，人們會認為同一張散佈圖的相關性更強。標準單位讓兩軸可以比較：兩軸上一個標準差一樣長；在這種圖裡，點雲沿垂直於兩條對角線方向的分散程度，正是$r$所衡量的。但這無法讓目測變得可靠：縮小視圖後，同一團點仍然顯得更緊密。