Korelasyon

Eşleştirilmiş verilerin korelasyon katsayısı $r$, diğer adıyla Pearson korelasyon katsayısı, noktaların tek bir doğruyu ne kadar yakından izlediğini ölçer. −1 ile 1 arasındadır; $x$ ve $y$ birlikte artma eğilimindeyse pozitiftir. Burada her nokta ve veri merkezi, kenarları standart sapma birimlerinde ölçülen bir dikdörtgen oluşturur. $r$, bu işaretli alanların toplamının $n-1$ ile bölümüdür. Noktaları sürükleyebilir, ekleyebilir ve silebilir; Anscombe'un dört veri kümesini veya seçilen $r$ ile oluşturulmuş bir bulutu yükleyebilir ve $r$ değerini −1 ile 1 arasında tutan kareleri görebilirsiniz.

$r$ neyi ölçer? Standart birimlerde $z_x$, bir noktanın $x$ ortalamasının kaç standart sapma sağında olduğunu; $z_y$ ise $y$ ortalamasının kaç standart sapma üstünde olduğunu söyler. Nokta ile merkez arasındaki dikdörtgenin alanı $|z_x z_y|$ olur. İki koordinatın da kendi ortalamalarının aynı tarafında olduğu sağ üst ve sol alt bölgelerde pozitif, diğer iki köşede negatif sayılır. Kenarlar standart sapma birimlerinde olduğu için birimleri değiştirmek veya $x$ ile $y$ değişkenlerini takas etmek $r$ değerini değiştirmez. Grafik de böyle çizilir: bir standart sapma iki eksende eşit uzunluktadır. Bu yüzden kesikli çerçeve bir karedir ve sağ üst çeyreği bir birim alandır.

$r$ neden ±1 sınırlarını aşamaz? Merkezden geçen $z_y = z_x$ doğrusunu çizin. Bir noktanın bu doğruya uzaklığının karesi $(z_y - z_x)^2/2$ olur. Bu kareleri toplayıp $n-1$ ile bölmek tam olarak $1 - r$ verir; çünkü $z_x^2$ ve $z_y^2$ terimlerinin toplamları ayrı ayrı $n-1$ olur. Diğer köşegen $z_y = -z_x$ için aynı hesap $1 + r$ verir. Kareler negatif olamaz, dolayısıyla $-1 \le r \le 1$ olur. Ayrıca $r = 1$ ancak $z_y = z_x$ doğrusuna ait tüm uzaklık kareleri sıfırsa gerçekleşir: bütün noktalar tek bir yükselen doğru üzerindedir.

Çok farklı şekiller nasıl aynı $r$ değerini verebilir? $r$ dikdörtgenleri toplar, şekle bakmaz. İstatistikçi Francis Anscombe 1973'te $r$, ortalamalar ve uydurulan doğru bakımından neredeyse aynı olan dört veri kümesi kurdu. Biri düz bir bant, biri düzgün bir eğri, biri bir aykırı değer dışında neredeyse bir doğru, sonuncusu ise tek bir noktanın işaretli toplamın çoğunu taşıdığı bir kümedir. Dikdörtgen, noktanın merkezden iki yöndeki uzaklıklarının çarpımıyla büyür; bu yüzden uzak bir nokta toplam alanın çoğunu sağlayabilir. Tam bir parabol üzerinde bulunan noktalar bile simetrik yerleştirildiklerinde $r = 0$ verebilir: bir taraftaki her dikdörtgen diğer taraftaki ayna görüntüsüyle birbirini götürür. $r$ yalnızca doğrusal ilişkiyi ölçer.

Neden standart birimlerde bakmalı? Göz, korelasyonu bulutun ne kadar ince göründüğüne göre değerlendirir; bu da eksenlere bağlıdır. Bir ekseni uzatmak aynı noktaları daha ince veya daha yuvarlak gösterir. Cleveland, Diaconis ve McGill'in 1982 deneylerinde insanlar, çevredeki eksen aralıkları genişletildiğinde aynı saçılım grafiklerini daha güçlü korelasyonlu değerlendirdi. Standart birimler iki ekseni karşılaştırılabilir yapar: bir standart sapma ikisinde de eşit uzunluktadır. Bu resimde bulutun iki köşegene dik yöndeki yayılımı, tam da $r$ değerinin ölçtüğü şeydir. Yine de gözü güvenilir kılmaz: görünüm uzaklaştırılınca aynı bulut hâlâ daha sıkı görünür.