Corrélation

Le coefficient de corrélation $r$ de données appariées, aussi appelé coefficient de Pearson, mesure à quel point les points suivent une même droite. Il va de −1 à 1 et est positif lorsque $x$ et $y$ ont tendance à augmenter ensemble. Ici, chaque point et le centre des données délimitent un rectangle dont les côtés sont mesurés en écarts-types ; $r$ est la somme de leurs aires signées divisée par $n-1$. Vous pouvez déplacer, ajouter et supprimer des points, charger les quatre jeux d’Anscombe ou un nuage construit avec un $r$ choisi, et voir les carrés qui maintiennent $r$ entre −1 et 1.

Que mesure $r$ ? En unités réduites, $z_x$ indique de combien d’écarts-types un point se trouve à droite de la moyenne de $x$, et $z_y$ de combien il se trouve au-dessus de la moyenne de $y$. Le rectangle entre le point et le centre a pour aire $|z_x z_y|$. Elle compte positivement en haut à droite et en bas à gauche, où les deux coordonnées sont du même côté de leurs moyennes respectives, et négativement dans les deux autres coins. Comme les côtés sont en écarts-types, changer d’unité ou échanger $x$ et $y$ ne change pas $r$. Le graphique suit la même règle : un écart-type a la même longueur sur les deux axes. Le cadre en pointillés est donc un carré, et son quart supérieur droit représente une unité d’aire.

Pourquoi $r$ ne peut-il jamais dépasser ±1 ? Tracez la droite $z_y = z_x$ passant par le centre. Le carré de la distance d’un point à cette droite est $(z_y - z_x)^2/2$. La somme de ces carrés, divisée par $n-1$, vaut exactement $1 - r$, car les $z_x^2$ et les $z_y^2$ ont chacun pour somme $n-1$. Pour l’autre diagonale, $z_y = -z_x$, le même calcul donne $1 + r$. Les carrés ne sont jamais négatifs, donc $-1 \le r \le 1$. Et $r = 1$ seulement si tous les carrés des distances à $z_y = z_x$ s’annulent : tous les points sont sur une même droite montante.

Pourquoi des figures très différentes peuvent-elles donner le même $r$ ? $r$ additionne les rectangles sans regarder la forme. En 1973, le statisticien Francis Anscombe a construit quatre jeux de données avec des valeurs de $r$, des moyennes et des droites ajustées presque identiques : une bande droite, une courbe lisse, un ensemble presque aligné sauf un point aberrant, et un ensemble où un seul point porte l’essentiel de la somme signée. Un rectangle grandit avec le produit des deux distances du point au centre ; un point éloigné peut donc fournir l’essentiel de l’aire totale. Des points exactement sur une parabole peuvent même donner $r = 0$ s’ils sont disposés symétriquement : chaque rectangle d’un côté est annulé par son image de l’autre. $r$ ne mesure que la liaison linéaire.

Pourquoi regarder en unités réduites ? L’œil juge la corrélation à la finesse du nuage, qui dépend des axes : en étirer un rend les mêmes points plus allongés ou plus ronds. Dans les expériences de Cleveland, Diaconis et McGill (1982), les participants jugeaient les mêmes nuages plus fortement corrélés lorsque les plages des axes étaient élargies autour d’eux. Les unités réduites rendent les axes comparables : un écart-type a la même longueur sur chacun. Dans cette représentation, l’étalement perpendiculaire aux deux diagonales est précisément ce que mesure $r$. Cela ne rend pas l’œil infaillible : une fois dézoomé, le même nuage paraît toujours plus resserré.