Loi normale

Une variable aléatoire $X$ de loi normale $N(\mu, \sigma^2)$ possède une densité en cloche : la moyenne $\mu$ se trouve au sommet et l’écart-type $\sigma$ en détermine la largeur. La probabilité que $X$ soit entre deux valeurs est l’aire sous la courbe entre ces valeurs. Ici, deux règles se trouvent sous la courbe : $x$ pour les valeurs et $z$ pour les unités réduites. Vous pouvez déplacer $\mu$ et $\sigma$, placer les bornes en $a$ et $b$, et choisir quelle règle reste fixe à l’écran.

Pourquoi toutes les courbes normales sont-elles la même courbe ? Fixez la règle $z$ et modifiez $\mu$ ou $\sigma$ : la courbe à l’écran ne bouge pas. C’est la règle $x$ qui glisse et s’étire dessous, tandis que les nombres sur l’échelle de densité changent. Les bornes sont des valeurs de $x$, elles suivent donc cette règle ; l’aire colorée ne change que lorsque leur position sur la règle $z$ change. Toute loi normale est la loi centrée réduite $N(0, 1)$ lue sur une autre règle. Ainsi, $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$, où $\Phi(z)$ est l’aire à gauche de $z$ sous la courbe centrée réduite.

Où voit-on $\sigma$ sur la courbe ? Aux points d’inflexion. Sur l’échelle ordinaire, la courbe est concave entre $\mu - \sigma$ et $\mu + \sigma$, convexe à l’extérieur. En ces deux points d’inflexion, la tangente traverse la courbe. Comme la forme ne change jamais, l’aire à moins de $k$ écarts-types de la moyenne ne dépend ni de $\mu$ ni de $\sigma$ : environ 68.27% à moins d’un, 95.45% à moins de deux et 99.73% à moins de trois.

Pourquoi une courbe plus étroite est-elle plus haute ? L’aire totale vaut toujours 1. Décomposer montre les deux étapes à partir de la courbe centrée réduite : déplacée en $\mu$ et étirée horizontalement d’un facteur $\sigma$, elle délimite une aire de $\sigma$ ; en divisant sa hauteur par $\sigma$, on retrouve une aire de 1. Le sommet vaut donc $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$, et diviser $\sigma$ par deux double sa hauteur. La hauteur est une densité, une probabilité par unité de $x$ ; seules les aires sont des probabilités.

À quel point les queues sont-elles fines ? Sur l’échelle ordinaire, la courbe semble rejoindre l’axe vers $3\sigma$, mais elle n’atteint jamais zéro. Sur l’échelle logarithmique, $\log f$ est une fonction quadratique de $x$ : la courbe devient une parabole tournée vers le bas et les queues descendent de plus en plus vite. Les deux queues réunies contiennent environ 0.270% de la probabilité au-delà de $3\sigma$, environ 1 sur 15 800 au-delà de $4\sigma$, et environ 1 sur 507 millions au-delà de $6\sigma$. Sur une échelle logarithmique, l’aire sous la courbe ne représente plus la probabilité ; la région est donc indiquée seulement sur la règle $x$.