Densité de probabilité

Une densité de probabilité $f$ décrit une variable aléatoire continue $X$ à l’aide d’aires : $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$, avec $f \ge 0$ et une aire totale de 1. Ici, la droite est découpée en classes de largeur $w$. Chaque barre représente la probabilité exacte d’une classe, telle quelle ou divisée par $w$, et se superpose à $f$ ; en dessous se trouve la fonction de répartition $F$. Lorsque les barres représentent des densités, diviser $w$ par deux les rapproche de $f$. Cinq distributions sont proposées, dont une que vous pouvez dessiner.

Que mesure la hauteur $f(x)$ ? Une probabilité par unité de longueur, pas une probabilité. La probabilité d’une classe divisée par sa largeur est la moyenne de $f$ sur cette classe. Ainsi, si $f$ est continue en $x$, la barre autour de $x$ tend vers $f(x)$ lorsque $w$ diminue, et sur un petit intervalle, $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$. C’est pourquoi une densité peut dépasser 1, contrairement à une probabilité : la probabilité est une aire, et une région haute mais étroite peut avoir une petite aire. Un point seul est un intervalle de largeur nulle, donc $P(X = x) = 0$ quelle que soit la valeur de $f(x)$. Pour une telle variable, $\le$ et $<$ donnent les mêmes probabilités.

Comment la densité et la fonction de répartition sont-elles liées ? $F(x) = P(X \le x)$ est l’aire sous $f$ à gauche de $x$ : l’aire sur $[a, b]$ en haut correspond donc à l’accroissement $F(b) - F(a)$ en bas. La probabilité d’une classe est l’accroissement de $F$ sur cette classe ; divisée par $w$, la hauteur de la barre est donc la pente de la sécante de $F$ sur cette classe. Lorsque $w$ diminue, la sécante se rapproche de la tangente : là où $f$ est continue, $F'(x) = f(x)$, c’est le théorème fondamental de l’analyse. Aux sauts de $f$, comme aux bornes de la densité uniforme, $F$ présente un point anguleux : ses pentes à gauche et à droite sont les valeurs de $f$ de chaque côté. Modifier $f$ en un seul point ne change aucune aire, donc aucune probabilité.

Pourquoi diviser les hauteurs d’un histogramme par la largeur des classes avant de le comparer à une densité ? Sans cette division, les barres représentent des probabilités et tendent vers 0 quand les classes rétrécissent, et non vers $f$. Après division par $w$, les barres sur toute la droite ont une aire totale de 1, quelle que soit leur largeur. On peut ainsi comparer des histogrammes de classes différentes et les superposer à $f$. Un histogramme de données fonctionne de même, en remplaçant la probabilité exacte de chaque classe par la proportion de l’échantillon qui s’y trouve.