دالة الكثافة الاحتمالية

تصف دالة الكثافة الاحتمالية $f$ متغيرًا عشوائيًا مستمرًا $X$ من خلال المساحات: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$، حيث $f \ge 0$ والمساحة الكلية تساوي ⁦1⁩. هنا يُقسّم خط الأعداد إلى فئات بعرض $w$، ويمثل كل عمود الاحتمال الدقيق لفئته، إما كما هو أو مقسومًا على $w$، ويُرسم فوق $f$. وتظهر أسفله دالة التوزيع التراكمي $F$. عندما تمثل الأعمدة كثافات، فإن تنصيف $w$ يجعلها تقترب من $f$. يمكنك تجربة خمسة توزيعات، أحدها ترسمه بيدك.

ماذا يقيس الارتفاع $f(x)$؟ الاحتمال لكل وحدة طول، وليس الاحتمال نفسه. احتمال الفئة مقسومًا على عرضها هو متوسط $f$ على الفئة. لذا، إذا كانت $f$ مستمرة عند $x$، فإن ارتفاع العمود الذي يحتوي $x$ يقترب من $f(x)$ كلما صغر $w$، ولدينا على فترة قصيرة $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$. لهذا يمكن أن تتجاوز الكثافة ⁦1⁩، بينما لا يمكن للاحتمال أن يتجاوزها: الاحتمال مساحة، وقد تكون مساحة منطقة عالية وضيقة صغيرة. النقطة الواحدة فترة عرضها صفر، لذا $P(X = x) = 0$ مهما كانت قيمة $f(x)$. ولمتغير من هذا النوع، تعطي $\le$ و$<$ الاحتمالات نفسها.

كيف ترتبط الكثافة بدالة التوزيع التراكمي؟ $F(x) = P(X \le x)$ هي المساحة تحت $f$ إلى يسار $x$، لذا فإن المساحة على $[a, b]$ في الأعلى هي الزيادة $F(b) - F(a)$ في الأسفل. احتمال الفئة هو زيادة $F$ عبرها، ولذلك فإن ارتفاع العمود بعد القسمة على $w$ هو ميل قاطع $F$ عبر تلك الفئة. كلما صغر $w$ اقترب القاطع من المماس: حيث تكون $f$ مستمرة، يكون $F'(x) = f(x)$، وهذه هي المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل. حيث تقفز $f$، كما عند طرفي الكثافة المنتظمة، تكون لـ$F$ زاوية، وميلاها من اليسار واليمين هما قيمتا $f$ على الجانبين. تغيير $f$ عند نقطة واحدة لا يغير أي مساحة، وبالتالي لا يغير أي احتمال.

لماذا تُقسم ارتفاعات أعمدة المدرج التكراري على عرض الفئة قبل مقارنته بالكثافة؟ من دون هذه القسمة، تمثل الأعمدة احتمالات، وتقترب ارتفاعاتها من الصفر مع تضييق الفئات، لا من $f$. وبعد القسمة على $w$، تكون المساحة الكلية للأعمدة على خط الأعداد كله ⁦1⁩ مهما كان العرض. وهكذا يمكن مقارنة مدرجات ذات تقسيمات مختلفة ووضعها فوق $f$. يعمل مدرج البيانات بالطريقة نفسها، مع استخدام نسبة العينة في كل فئة بدلًا من احتمالها الدقيق.