Função densidade de probabilidade

Uma função densidade de probabilidade $f$ descreve uma variável aleatória contínua $X$ através de áreas: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$, com $f \ge 0$ e área total 1. Aqui, a reta é dividida em classes de amplitude $w$. Cada barra representa a probabilidade exata de uma classe, diretamente ou dividida por $w$, sobreposta a $f$; por baixo encontra-se a função de distribuição acumulada $F$. Quando as barras representam densidades, reduzir $w$ para metade aproxima-as de $f$. Há cinco distribuições para experimentar, uma delas desenhada à mão.

O que mede a altura $f(x)$? Probabilidade por unidade de comprimento, não probabilidade. A probabilidade de uma classe dividida pela sua amplitude é o valor médio de $f$ nessa classe. Assim, onde $f$ é contínua em $x$, a barra que contém $x$ tende para $f(x)$ à medida que $w$ diminui, e para um intervalo curto temos $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$. Por isso, uma densidade pode ultrapassar 1, embora uma probabilidade não possa: a probabilidade é a área, e uma região alta mas estreita pode ter uma área pequena. Um único ponto é um intervalo de amplitude 0, pelo que $P(X = x) = 0$, seja qual for $f(x)$. Para uma variável deste tipo, $\le$ e $<$ dão as mesmas probabilidades.

Como se relacionam a densidade e a função de distribuição acumulada? $F(x) = P(X \le x)$ é a área sob $f$ à esquerda de $x$, pelo que a área sobre $[a, b]$ em cima corresponde ao aumento $F(b) - F(a)$ em baixo. A probabilidade de uma classe é o aumento de $F$ ao longo dessa classe. Ao dividir por $w$, a altura da barra passa, portanto, a ser o declive da secante de $F$ nessa classe. À medida que $w$ diminui, a secante aproxima-se da tangente: onde $f$ é contínua, $F'(x) = f(x)$, pelo teorema fundamental do cálculo. Onde $f$ tem um salto, como nos extremos da uniforme, $F$ tem um ponto anguloso, e os seus declives de ambos os lados são os valores de $f$ de cada lado. Alterar $f$ num único ponto não altera nenhuma área nem, por isso, nenhuma probabilidade.

Porque se dividem as alturas de um histograma pela amplitude das classes antes de o comparar com uma densidade? Sem essa divisão, as barras representam probabilidades e tendem para 0 quando as classes encolhem, não para $f$. Divididas por $w$, as barras ao longo de toda a reta têm área total 1, qualquer que seja a amplitude. Assim, é possível comparar histogramas com classes diferentes e sobrepô-los a $f$. Um histograma de dados funciona da mesma forma, substituindo a probabilidade exata de cada classe pela proporção da amostra que nela se encontra.